Esercizio calcolo gruppo fondamentale

[Shocker]

Ciao,

sto cercando di migliorare in topologia algebrica: ho un problema con la formalizzazione quando calcolo il gruppo fondamentale di uno spazio topologico.

Il testo dell'esercizio è il seguente

Calcolare il gruppo fondamentale del complementare in $\mathbb{R^3}$ di $\{ (x, y, z) | y = 0, x^2 + z^2 = 1 \} \cup \{(x, y, z) | y = z = 0, x >= 1 \}$

Questo è il mio tentativo di soluzione: sia $X$ lo spazio dell'esercizio, consideriamo gli aperti $A = X - \{ (x, y, z) | y = 0, x^2 + z^2 <= 1 \}$ e $B$ l'aperto ottenuto facendo ruotare la palla aperta $\{(x, y, z) \in X | x^2 + z^2 < 1 \}$ attorno all'asse ${(x, y, z) | y = 0, x = -1 \}$. $A, B, A \cap B$ sono aperti connessi per archi ma la dimostrazione è un po' noiosa per cui la tralascio. Veniamo alla parte che per me è difficile: vedere le equivalenze omotopiche.
$C = S^2(0, 2) - {(2, 0, 0)}$¹ è un retratto per deformazione di $A$ mediante la mappa $F: [0, 1] \times A \to A$ che manda $(t, x) \to (1-t)*x + 2*\frac{x}{\norm{x}}$, infatti $F(0, \cdot) = \mathbb{1}_A$, $F(1, \cdot) = \mathbb{1}_C$ e $F(t, x) = x \forall (t, x) \in [0, 1] \times C$ e dunque è semplicemente connesso: $S^2 - {p}$ è omeomorfo a $\mathbb{R^2}$.
$A \cap B$ invece è semplicemente connesso*.
Per van kampen otteniamo che per $x_0 \in A \cap B$ vale $\pi_1(X, x_0)$ \( \simeq \) $ \pi_1(B, x_0) = \mathbb{Z}$.

*Ecco per esempio non so come dimostrare che $A \cap B$ è semplicemente connesso, qualche idea?

Scusate le imprecisioni, anzi sarebbe fantastico se riusciste a dirmi quali sono e se il ragionamento fila.

Grazie a tutti, ciao!

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Note

1. $S^2(0, 2)$ è la sfera di raggio $2$ e centro $0$ ↑

[fmnq]

Dovrebbe venire \(\mathbb Z * \mathbb Z\) usando Van Kampen; prendi come aperti, per qualche \(0 < \epsilon\ll 1\),
\[
\begin{cases}
U = X\cap \{x \ge -\epsilon\}\\
V = X\cap \{x \le \epsilon\}
\end{cases}
\] E' evidente che \(U\cap V\) è omotopicamente equivalente a \(S^1\lor S^1\) (\(\mathbb R^2 \setminus \{p_1,\dots, p_n\}\) è omotopo a un wedge di \(n\) cerchi), ed è altrettanto evidente che \(U \simeq S^2 \setminus\{p_1,p_2,p_3\}\) e \(V\simeq \mathbb R^2\setminus\{p_0\}\simeq S^1\). Van Kampen allora ti dice che devi calcolare il pushout
\[
\begin{CD}
\pi_1(U\cap V) @>\psi_U>> \pi_1(U) \\
@V{\psi_V}VV \ulcorner @VVV\\
\pi_1(V) @>>> \pi_1(X)
\end{CD}
\]
dove \(\psi_U\) è un isomorfismo \(\mathbb Z\langle a\rangle * \mathbb Z\langle b\rangle \to \mathbb Z\langle a'\rangle * \mathbb Z\langle b'\rangle\), e \(\psi_V\) è la mappa \(\mathbb Z\langle a\rangle * \mathbb Z\langle b\rangle \to \mathbb Z\langle u\rangle : a\mapsto u, b\mapsto u\) (il motivo è abbastanza evidente se controlli quali lacci in \(U\cap V\) diventano omotopi in \(U\) e in \(V\) rispettivamente). Col che,
\[
\pi_1(X) \cong \langle a,b,u \mid au^{-1}, bu^{-1}\rangle = \langle a,b,u\mid ab^{-1}\rangle = \langle a,u\rangle
\]

[Shocker]

Ciao,

grazie per la risposta.

Dovrebbe venire \( \mathbb Z * \mathbb Z \)

No, il libro(Manetti) riporta $\mathbb{Z}$ come gruppo fondamentale dello spazio dell'esercizio.
Comunque non riesco a dimostrare che \( U \simeq S^2 \setminus\{p_1,p_2,p_3\} \), nonostante sia intuitivo. Ho provato a scrivere qualche retrazione forte ma non funziona niente. Hai qualche consiglio?
Inoltre:

\( \psi_V \) è la mappa \( \mathbb Z\langle a\rangle * \mathbb Z\langle b\rangle \to \mathbb Z\langle u\rangle : a\mapsto x, b\mapsto u \).

A me sembra che $a$ e $b$ siano omotopi in $V$, quindi l'immagine mediante l'omomorfismo dovrebbe essere la stessa, giusto? Questo porta a concludere che il gruppo fondamentale è isomorfo a $\mathbb{Z}$.

Grazie ancora per la risposta, ciao

[fmnq]

A me sembra che $a$ e $b$ siano omotopi in $V$,

Lo sono, infatti.

Questo porta a concludere che il gruppo fondamentale è isomorfo a $\mathbb{Z}$.

In che modo?

[Shocker]

Le relazioni dovrebbero essere date da $\psi_V(a) = \psi_U(a)$ e $\psi_V(b) = \psi_U(b)$, quindi $\pi_1(X) = <a, b, u | a = u, b= u> = <u>$ \( \simeq \mathbb Z \). Che dici?

Ciao

[fmnq]

Ah, chiaramente, avevo sbagliato a scrivere io quand ho scritto le relazioni; sì, quindi viene $ZZ$, siamo d'accordo.

[Shocker]

Benissimo. Hai qualche idea per dimostrare l'equivalenza omotopica fra $U$ e $S^2-{p_1, p_2, p_3}$? Questo è il mio punto debole: non riesco a rendere sempre rigoroso le equivalenze omotopiche o i retratti per deformazione.

[fmnq]

Anzitutto, si tratta di calcolare il gruppo fondamentale di \(\mathbb R^3\) a cui hai tolto tre semirette non parallele aventi la stessa origine: il motivo è evidente, lo spazio che ti interessa si ottiene levando a \(\mathbb{D}^3\) (l'interno del disco 3-dimensionale) queste tre semirette $a,b,c$, e un qualsiasi omeomorfismo \(\mathbb R^3\cong \mathbb D^3\) fa il lavoro (scommetto ne sai trovare uno, alla stessa maniera in cui si trova un omeomorfismo \(\mathbb R\cong ]0,1[\)).

A questo punto ti basta osservare che \(\mathbb D^3\setminus \{a,b,c\}\) ha \(S^2 \setminus\{A,B,C\}\) come retratto di deformazione forte (ti basta restringere la mappa che rende $S^1$ un retratto di deformazione forte di \(\mathbb D^2 \setminus\{0\}\)).

[Shocker]

Grazie per l'aiuto, è tutto molto più chiaro