Tre corpi su un piano inclinato

[MrEngineer]

Ciao ragazzi, ecco un altro quesito che mi ha un pò lasciato perplesso. E no, il titolo del topic non si riferisce ad una barzelletta
Scherzi a parte, ecco il testo.



"Tre blocchetti di masse \(\displaystyle m_1= 2 kg \), \(\displaystyle m_2 = 3.5 kg \), \(\displaystyle m_3 =4.1 kg \) scendono lungo un piano inclinato liscio, con angolo\(\displaystyle θ = 40° \), sotto l'azione della forza peso e della forza \(\displaystyle F \) costante. Si sa che la forza tangente al piano a cui è sottoposto il blocchetto \(\displaystyle m_2 \) è \(\displaystyle F2 =8.4N \).
a) Calcolare il valore di \(\displaystyle F \).
b) Si supponga che \(\displaystyle F \) non ci sia, ma che il piano presenti attrito, con coefficienti \(\displaystyle μ_1 \),\(\displaystyle μ_2=0.84 \), \(\displaystyle μ_3=0.80 \) rispettivamente e che il moto sia uniforme. Calcolare il valore di \(\displaystyle μ_1 \)".

Risoluzione
a) Il punto in questione è proprio quello che mi ha lasciato qualche dubbio. Allora, i tre corpi sono a contatto per cui l'accelerazione sarà uguale per i tre corpi che avranno una forza \(\displaystyle F \) opposta al moto durante la discesa. La forza in questione viene esercitata sul blocco \(\displaystyle m_1 \), ma si ripercuote con una forza \(\displaystyle F_2 \) minore in modulo anche su \(\displaystyle m_2 \). Quello che non mi quadra è questo: il libro calcola l'accelerazione tramite legge di Newton su \(\displaystyle m_2 \) nel seguente modo
\(\displaystyle F_2 = m_2a \) come se la forza \(\displaystyle F_2 \) fosse l'unica forza agente su \(\displaystyle m_2 \). Ma il corpo si trova in discesa su un piano inclinato, non su un piano orizzontale. Per cui non deve agire anche la forza peso? E in particolare, non sarà presente (proiettando la seconda legge della dinamica lungo una coppia di assi Oxy tali che il verso di x sia quello del moto) anche la componente della forza peso lungo l'asse x oltre alla forza \(\displaystyle F_2 \) parallela al suddetto asse?

Forse la chiave sta in questa frase:

Si sa che la forza tangente al piano a cui è sottoposto il blocchetto \(\displaystyle m_2 \) è \(\displaystyle F2 =8.4N \).

Cosa si intende per forza tangente al piano?

[Shackle]

Questo è un esercizio della stessa serie " del piffero" di quello di termodinamica, su cui ti ha risposto Faussone ? Non si capiscono alcune cose :

i tre corpi sono a contatto per cui l'accelerazione sarà uguale per i tre corpi che avranno una forza F opposta al moto durante la discesa

dove leggi che i corpi sono a contatto? Dove leggi che la forza F è opposta al moto ?

il libro calcola l'accelerazione tramite legge di Newton su $m_2$ nel seguente modo : $F_2=m_2a$ come se la forza $F_2$ fosse l'unica forza agente su $m_2$

certamente su ciascuna massa agisce il peso, come dici dopo , e agisce una parte di F , per cui sulla massa $m_2$ la $F_2$ è l risultante del peso $m_2g$ e di questa parte incognita di F .

PER me, i tre corpi sono collegati uno all'altro , magari con dei pezzi di spago , e la F agisce sull'insieme , "tangenzialmente" al piano vuol dire nella stessa direzione delle componenti dei pesi .

[MrEngineer]

Ciao Shackle.. non mi sgridare ma ho dimenticato la figura :/ adesso la pubblico modificando il primo post per evitare altri fraintendimenti.

Allora, tornando a noi, la forza in figura è diretta in verso opposto rispetto al verso in cui avviene il moto, per cui ho immaginato che i tre corpi venissero tenuti a contatto tra di loro proprio dalla forza in questione, in modo tale che abbiano tutti la stessa accelerazione. Tant'è che il testo calcola l'accelerazione per il secondo corpo e poi la considera valida anche per gli altri due.

certamente su ciascuna massa agisce il peso, come dici dopo , e agisce una parte di F , per cui sulla massa $m_2$ la $F_2$ è l risultante del peso $m_2g$ e di questa parte incognita di F .

Su questo non ero arrivato. Da cosa si capisce, allora, che la forza $F_2$ in questione si riferisca sia al peso che alla forza $F$?

[Shackle]

Vista la figura , è diverso da quello che avevo pensato in un primo momento . Il testo dice che i tre corpi scendono. Orienta l'asse $x$ parallelamente al piano inclinato , come versore $veci$ diretto verso il basso. L'accelerazione $veca$ , uguale per tutti e tre i corpi, è concorde a $veci$ , per ipotesi.

Nello schizzo allegato, ho separato i tre pezzi, applicando sull'interfaccia 1/ 2 , e 2/3 , le azioni e reazioni relative . Per esempio , $vecF_(21)$ è la forza che il corpo 2 esercita sul corpo 1 , e cosi via . Inoltre , vanno considerate: la forza $vecF$ , e i tre componenti dei pesi $m_jgsenthetaveci$ , dove $j =1,2,3$ .

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

si tratta ora di scrivere l'equazione della dinamica di Newton per ciascun blocco , come "corpo libero" . Hai cosi 3 equazioni vettoriali , che devi proiettare su $x$ per avere le componenti :

$m_1a = m_1gsentheta +F_(21) -F $
$m_2a = m_2gsentheta+ F_(32) - F_(12) $
$m_3a = m_3gsentheta - F_(23)$

Quindi hai tre equazioni . Aggiungi una 4º equazione , data dal problema , che ti dà la forza agente sul blocco 2. In sostanza, se ho capito bene, conosci già la risultante delle forze agenti su $m_2$ , cioè il secondo membro della seconda equazione. Questo ti permette di ricavare subito quanto vale l'accelerazione: $a= 2.4 m/s^2$, se abbiamo capito bene la cosa ...!

LE equazioni dette consentono quindi di ricavare, oltre ad $a$ , il modulo della forza $F$ , e i moduli delle due forze di azione-reazione tra 1 e 2 e tra 2e3. Certo che "forza tangente al piano" rimane un po' campato in aria....

[MrEngineer]

Ciao Shackle. Il tuo ragionamento non fa una piega. E' esattamente quello che ho immaginato io, con la sola differenza che io non mi sarei mai aspettato che $F_2$ fosse la risultante delle forze applicate al corpo, dato che non c'era scritto da nessuna parte. L'accelerazione da te calcolata è quella corretta. La cosa che mi indispone è non tanto non saper fare qualcosa perché, per carità, non c'è limite allo scibile umano, quanto il fatto che la difficoltà scaturisca dal modo in cui vengono presentati certi testi.. Ma che vuol dire che $F_2$ è una forza tangente al piano? Non avrebbero fatto prima a dire che la risultante delle forze applicate al corpo 2 fosse pari ad $F_2$? A quel punto si che non avrei avuto dubbi

Comunque, come sei riuscito a capire che questa dannata $F_2$ fosse la risultante delle forze applicate al secondo corpo? Io l'avevo scambiata per quella forza che tu hai definito come $F_12$.

[Shackle]

... io non mi sarei mai aspettato che $F_2$ fosse la risultante delle forze applicate al corpo, dato che non c'era scritto da nessuna parte.
..........
Comunque, come sei riuscito a capire che questa dannata $F_2$ fosse la risultante delle forze applicate al secondo corpo? Io l'avevo scambiata per quella forza che tu hai definito come $F_12$.

È vero, non c'è scritto. Non ci sono scritte tante informazioni, in questo testo. Ma se il testo dice qual è la "forza tangente" che agisce su $m_2$ , io vedo solo un modo per arrivare in fondo : questa forza è quella che deve causare l'accelerazione di $m_2$ , quindi non può che essere la risultante delle tre forze che agiscono su essa. Quindi basta dividerla per $m_2$ , per ottenere $a$ .

L'accelerazione da te calcolata è quella corretta. La cosa che mi indispone è non tanto non saper fare qualcosa perché, per carità, non c'è limite allo scibile umano, quanto il fatto che la difficoltà scaturisca dal modo in cui vengono presentati certi testi.. Ma che vuol dire che $F_2$ è una forza tangente al piano? Non avrebbero fatto prima a dire che la risultante delle forze applicate al corpo 2 fosse pari ad $F_2$? A quel punto si che non avrei avuto dubbi

hai perfettamente ragione, questo testo è scritto male , e richiede uno spirito critico smaliziato, per l'interpretazione corretta . Certo, avrebbe fatto meglio ad instradare lo studente in maniera più chiara, ma che posso dirti ? Spero che all'esame diano dei testi più chiari !

Per finire, la forza $F$ mi risulta : $F = 37.49 N $ . E a te ?

Adesso hai la parte b) , in cui però il moto è supposto uniforme .

[MrEngineer]

Ho appena svolto tutti i calcoli, la forza $F$ mi risulta pari a circa $37.5 N$ quindi ci siamo, decimale più decimale meno comunque siamo lì. Il punto b) lo sto iniziando adesso ma non dovrebbero esserci problemi, come dici tu (e come almeno in questo caso dice il testo) il moto sarà rettilineo uniforme. Vediamo di tirare fuori qualcosa

@Shackle: ok, l'ho concluso. Solo una cosa, sono stato tentato a primo impatto di applicare la legge di Newton solo al 1 corpo tralasciando gli altri due corpi, considerando quindi soltanto la componente della forza peso lungo l'asse scelto e la forza di attrito agente sul 1 corpo ottenendo ovviamente un valore errato per il coefficiente. I tre corpi in realtà vanno considerati ancora coesi, senza che si distacchino. Perdona la domanda magari stupida ma ho un dubbio: adesso che la forza $F$ ha smesso di agire (ed essendo lei che spingendo $m_1$ teneva i corpi attaccati gli uni con gli altri) perché i corpi continuano a scivolare ancora attaccati? non potrebbe capitare che ad esempio un corpo scivoli con una velocità maggiore (ma costante) rispetto alla velocità degli altri due corpi in modo tale da distaccarsi?

[Shackle]

......
@Shackle: ok, l'ho concluso. Solo una cosa, sono stato tentato a primo impatto di applicare la legge di Newton solo al 1 corpo tralasciando gli altri due corpi, considerando quindi soltanto la componente della forza peso lungo l'asse scelto e la forza di attrito agente sul 1 corpo ottenendo ovviamente un valore errato per il coefficiente. I tre corpi in realtà vanno considerati ancora coesi, senza che si distacchino. Perdona la domanda magari stupida ma ho un dubbio: adesso che la forza $ F $ ha smesso di agire (ed essendo lei che spingendo $ m_1 $ teneva i corpi attaccati gli uni con gli altri) perché i corpi continuano a scivolare ancora attaccati? non potrebbe capitare che ad esempio un corpo scivoli con una velocità maggiore (ma costante) rispetto alla velocità degli altri due corpi in modo tale da distaccarsi?

L'esercizio b) va considerato a se stante, è proprio un altro esercizio. Infatti, oltre a non esserci F , il piano è scabro, mentre in a) era liscio.

La tua domanda non è stupida, me la sono fatta anch'io. Se considero i tre corpi staccati, e faccio il diagramma di corpo libero di ciascuno (prendo in esame solo le forze parallele al piano, quelle normali non interessano ai fini del moto) , dovrò considerare , per ognuno :
-la componente della forza peso $m_jgsenthetaveci$ ;
-la forza di attrito $-mu_j*m_jgcos thetaveci $

l'unico modo per verificare se i corpi rimangono attaccati o si potrebbero considerare anche staccati , è ripetere il procedimento di prima , scrivendo le tre equazioni di equilibrio per le forze : ora l'accelerazione è zero perché v = costante per ipotesi. Cosi facendo, risulta che le forze di azione/reazione nelle interfacce 1/2 e 2/3 non sono nulle , il che significa che i corpi rimangono attaccati . Ma , globalmente, non ci interessa se i corpi esercitano o meno delle forze uno sull'altro : sommando , esse si elidono essendo forze interne .

Ho fatto tutto il procedimento, e mi risulta : $mu_1 = 0.92 $

[MrEngineer]

$m_1a = m_1gsentheta +F_(21) -F $
$m_2a = m_2gsentheta+ F_(32) - F_(12) $
$m_3a = m_3gsentheta - F_(23)$

In sostanza basta considerare $F = 0$ in questo sistema e il gioco è fatto. Il coefficiente che hai calcolato è corretto, abbiamo ottenuto lo stesso risultato numerico. Grazie mille Shackle

[Shackle]

Si, F = 0, ma devi aggiungere le forze di attrito nelle tre equazioni, e porre a=0 .