Equazione differenziale del 1° ordine

[Caterella]

Ciao, sono alle prese con la preparazione di analisi 2. Ho difficoltà a capire questa equazione differenziale con problema di Cauchy. Come andrebbe svolta? E' lineare omogenea? Grazie.
$ y'=y^2/(xlogx) $
$ y(e^(-1))=3 $

[Mephlip]

Variabili separabili, non prima di aver fatto delle considerazioni sulla $y$ però!
Attenzione al gergo, non può essere lineare perché compare $y^2$ e non può essere omogenea perché non è nullo il membro di destra.

[dissonance]

@Caterella: non è possibile non sapere riconoscere se una equazione è lineare o no. Significa che di teoria non hai studiato assolutamente niente. Consiglio di rimediare e di dedicare del tempo alla teoria prima di metterti a fare esercizi alla cieca.

[Caterella]

Scusate è che ho visto questo esercizio su un compito di qualche anno fa della prof in questione e non lo riconoscevo perchè lei quest'anno ha spiegato solo le equazioni differenziali lineari, omogenee e non (primo e secondo ordine), infatti avevo capito che bisognava separare le variabili ma lei non ha spiegato questo metodo. Evidentemente aveva un programma leggermente diverso, grazie lo stesso!

[pilloeffe]

Ciao Caterella,

infatti avevo capito che bisognava separare le variabili

Beh, visto che hai capito questo sei quasi a metà dell'opera e potresti anche provare a risolverla...
D'altronde si ha:

$ \int_{x_0}^x \frac{y^\prime (t)}{y^2(t)}\ \text{d} t = \int_{x_0}^x \frac{1}{t log t}\ \text{d} t $

ove nel caso in esame $x_0 = 1/e $ e $y(x_0) = 3$. L'integrale sulla sinistra è elementare, quello sulla destra anche perché è del tipo seguente:

$\int \frac{f'(t)}{f(t)} \text{d} t = log|f(t)| + c $

con $f(t) := log t $

[Fioravante Patrone]

Variabili separabili, non prima di aver fatto delle considerazioni sulla $y$ però!
Attenzione al gergo, non può essere lineare perché compare $y^2$ e non può essere omogenea perché non è nullo il membro di destra.

Cosa vuol dire "compare $y^2$" ?
$y'=y+y^2-y^2$ non è lineare? Occhio che si possono fare esempi nei quali è un pelino più difficile rendersi conto che un qualcosa che sembra "comparire" in realtà non c'è!
Mi sa che non sai dimostrare che l'equazione data non è lineare.

La tua considerazione sul fatto che non sia omogenea è "curiosa": sia in sé, sia perché dici che non è lineare, per cui cosa vuol dire che non è omogenea?

[Mephlip]

Ciao Fioravante, scusa per l'estremo ritardo nella risposta ma non sono stato molto attivo sul forum recentemente.
Innanzitutto ti ringrazio, perché noto di avere lacune sull'argomento e quindi non avrei mai dovuto rispondere a dei dubbi di altri se ne ho io stesso ancora. Ti rispondo subito al resto!

Cosa vuol dire "compare $y^2$" ?
$y'=y+y^2-y^2$ non è lineare? Occhio che si possono fare esempi nei quali è un pelino più difficile rendersi conto che un qualcosa che sembra "comparire" in realtà non c'è!
Mi sa che non sai dimostrare che l'equazione data non è lineare.

Hai ragione quando dici che non lo so dimostrare, non l'ho mai dimostrato; forse partirei dal considerare la somma di due generiche soluzioni e vedere se è ancora soluzione, ma è giusto una considerazione a caldo che non so quanto sia sensata!
Riguardo al "compare": intendi dire che è improprio il linguaggio e può portare a considerazioni frenetiche ed errate perché, in situazioni meno evidenti, l'apparente non linearità può venire meno e dunque quella che sembrava essere un'equazione non lineare è in realtà lineare?

La tua considerazione sul fatto che non sia omogenea è "curiosa": sia in sé, sia perché dici che non è lineare, per cui cosa vuol dire che non è omogenea?

Perché curiosa in sé? Chiedo in maniera non provocatoria, non ho recepito ma forse è dovuta al fatto che...
...la non omogeneità è quando la funzione $f(x)$ al membro di destra è $f(x)=0$, ossia in questo caso è omogenea e io ho detto una castroneria (se così fosse, grazie per avermelo fatto notare!)
Mi ha confuso il fatto che, dopo aver notato che $y=0$ è soluzione (ma non soddisfa il problema di Cauchy), posso dividere per $y^2$ e nella forma è effettivamente non omogenea. Dico un'eresia?

[Fioravante Patrone]

Ciao Fioravante, scusa per l'estremo ritardo nella risposta ...

Il bello di un forum è che non si "lavora" a tambur battente!

...
Mi sa che non sai dimostrare che l'equazione data non è lineare.

Hai ragione quando dici che non lo so dimostrare, non l'ho mai dimostrato; forse partirei dal considerare la somma di due generiche soluzioni e vedere se è ancora soluzione
...

Diciamo che ho insegnato queste cose per qualche anno, e quindi ho addestrato il mio "fiuto". Ti tranquillizzo (spero) dicendoti che sei in numerosa compagnia. Secondo me, ad esempio, tra i laureati (magistrali) in ingegneria chi sa dimostrarlo è una minoranza. Banalmente, perché chi sa cosa vuol dire che una equadiff è lineare è una minoranza.

Poi c'è un distrattore terminologico. Si parla di equadiff lineare, ma si dovrebbe dire equadiff affine, mentre "a rigore" sarebbero lineari solo le "equadiff lineari e omogenee". Ma l'uso "sbagliato" è troppo consolidato (vedasi anche la "programmazione lineare" che in realtà sarebbe "affine"). Solo un dittatore matematico universale potrebbe cambiare le cose. Un po' come se si volesse (giustamente...) cambiare il nome alla disciplina "teoria dei giochi".

La tua idea di "considerare la somma di due..." non va bene. Sappiamo che l'insieme delle soluzioni di una eqadiff lineare (omogenea, vedi quanto detto sopra) è uno spazio vettoriale, quindi vedere se lo spazio delle soluzioni è uno spazio vettoriale è un indizio che l'equazione data sia lineare (e omogenea...), ma non è una prova.

Come si può fare una dimostrazione? Basta ricordare (o sapere per la prima volta...) cosa vuol dire che una equazione differenziale è lineare. Spero mi scuserai se mi limito a quelle del primo ordine (in forma normale). Si passa facilmente al caso dei sistemi e delle equazioni di ordine superiore, si appesantisce solo la notazione.
Allora, una equadiff (ordinaria, del 1° ordine, in forma normale) viene descritta convenzionalmente in questo modo:
$y'=f(x,y)$, dove $f:A -> RR$, essendo $A \subseteq RR^2$.
La eqaudiff è lineare se:
1. $f$ è definita "su una striscia verticale", per la precisione, esiste un intervallo $I$ di $RR$ t.c. $A = I \times RR$ (vedi nota sotto)
2. $f$ è "AFFINE(*) in $y$" (ovvero, nella "seconda variabile"). Cioè, per ogni $x \in I$, esiste una funzione lineare $L_x:RR -> RR$ e $b_x \in RR$, t.c. $f(x,y)=L_x(y)+b_x$ per ogni $y \in RR$.

Naturalmente, dire che $L_x$ è lineare vuol dire che per ogni $c_1,c_2 \in RR$ e $y_1,y_2 \in RR$, si ha che
$L_x(c_1 y_1 + c_2 y_2)= c_1 L_x(y_1) + c_2 L_x(y_2)$

Noto, ma questa è semplicemente una curiosità, che NON è richiesta NESSUNA ipotesi di regolarità su $f$ (ovviamente, oltre al soddisfare la condizione 2.). In particolare, la $f$ potrebbe essere "selvaggia a piacere" per quanto riguarda la dipendenza dalla $x$.

nota: l'ipotesi della striscia è necessaria per poter fare "impunemente" le operazioni descritte nel secondo punto

(*) cercando in rete una cosa riguardante le funzioni affini per scrivere questo post, ho trovato questa vecchia roba, che avevo completamente dimenticato (e che riguarda una wikipedia dei "tempi eroici"): viewtopic.php?t=20616



Sulla altra questione, ovvero la "omogeneità", semplicemente volevo dire che normalmente se ne parla solo nel contesto delle equazioni (o sistemi) lineari.

[Fioravante Patrone]

Avevo da fare... ora posso concludere la risposta vedendo, in un esempio, come si dimostra che una equadiff non è lineare.

Prendiamo $y'=x(1+y^2)$.

Per essere lineare, la condizione 2. deve essere soddisfatta per ogni $x \in I$ (in questo semplice esempio, $I=RR$).
Si vede facilmente che è soddisfatta per $x=0$: basta prendere $L_0=0$ e $b_0=0$...
Ma a noi occorre e basta trovare UN valore di $x$ per il quale la 2. NON è soddisfatta. Prendiamo $x=1$.

$f(1,y)=1+y^2$. Supponiamo che ci siano $L_1$ e $b_1$ per cui la 2. è soddisfatta. Per non scrivere pedici noiosi, li chiamo $L$ e $b$.
Quindi, supponiamo che sia $f(1,y)=L(y)+b$ per ogni $y \in RR$, con $L$ lineare e $b \in RR$.
Visto che $f(1,0) = 1$, e visto che $L(0)=0$, deve allora essere $b=1$
Quindi, per soddisfare la 2. dobbiamo trovare $L$ lineare t.c.
$1+y^2 = L(y) +1$ per ogni $y \in RR$

La $L$ non può essere identicamente nulla (per $y=2$ sarebbe $5=1$...).

Sia allora $k=L(1)$, $k$ diverso da $0$ (e quindi $L(y)=ky$ per ogni $y \in RR$).

Se fosse soddisfatta la condizione 2. si avrebbe:
$f(1,2)=L(2)+1=2k+1$ Per come è definita $f$, è $f(1,2)=1+2^2=5$
Quindi $k$ deve soddisfare $2k+1=5$, e quindi $k=2$

Ma $f(1,3)=1+3^2=10$ per definizione di $f$
Mentre, per la supposta linearità, dovrebbe essere $f(1,3)=L(3)+1=3k+1=6+1=7$

Non è lineare, la nostra equadiff.


PS: se qualcuno trova noiosi e pedanti i conti di cui sopra, son d'accordo. Ma lo scopo di questo esempio non era dimostrare che sono un tipo sveglio (e poi, anche ammesso che normalmente lo sia, alle 2:45, non lo sono proprio. Spero di non averci ficcato dentro troppi errori). Era di mostrare come si può fare a provare davvero che una equadiff non è lineare, senza ricorrere a tecniche di "dimostrazione" tipo quelle citate in questo link (un sito scelto a caso, dove trovare una delle mille versioni di un famoso elenco. La migliore "tecnica" tra queste per me resta quella "per intimidazione", e ogni riferimento alla problematica di questo post è voluto):
https://www.henrycg.com/pers/advice/ang ... roveIt.pdf

[Mephlip]

La tua idea di "considerare la somma di due..." non va bene. Sappiamo che l'insieme delle soluzioni di una eqadiff lineare (omogenea, vedi quanto detto sopra) è uno spazio vettoriale, quindi vedere se lo spazio delle soluzioni è uno spazio vettoriale è un indizio che l'equazione data sia lineare (e omogenea...), ma non è una prova.

Infatti dopo il conto mi bloccavo in un limbo scemo, perché era palese che non fosse lineare ma quello non costituiva una dimostrazione come hai preannunciato! Avevo pensato alla definizione di linearità (ossia a controllare l'additività e l'omogeneità), ma non avendola mai applicata alle equazioni differenziali l'ho messa in secondo piano; errore
Comunque grazie mille per il tempo speso a scrivere i messaggi, già con la tua nota sulle EDO a VS mi hai tolto un sacco di dubbi e ora me ne hai tolti altrettanti su questa altra tipologia!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Non puoi immaginare le risate che mi sono fatto alla frase "Abilità? Fortuna? Non si sente l'urlo dell'urang-utang.
Conoscevo già la "fenomenologia della dimostrazione" che hai linkato, sempre esilarante!

Ti tranquillizzo (spero) dicendoti che sei in numerosa compagnia. Secondo me, ad esempio, tra i laureati (magistrali) in ingegneria chi sa dimostrarlo è una minoranza. Banalmente, perché chi sa cosa vuol dire che una equadiff è lineare è una minoranza.

"Fortunatamente" sono al secondo anno di fisica, quindi non sono né un matematico né un laureato; però ho scoperto di voler fare il matematico in futuro e quindi cerco di compensare i programmi non proprio esaurienti che sono presenti nei corsi di laurea diversi da matematica! Quindi non so se sentirmi rincuorato perché non dovrebbe essere propriamente mia competenza (sa tanto di comfort zone) o se pensare che i miei studi individuali andrebbero potenziati.