Valori intermedi(con topologia)

Messaggioda anto_zoolander » 05/12/2018, 20:18

Ciao!

Quando abbiamo uno spazio $X$ compatto connesso e una funzione $f:X->RR$ continua, si può concludere che vale il teorema dei valori intermedi no?

Perché $f(X)$ è compatto e connesso quindi chiuso, limitato e connesso.
Le due cose unite ci tornano sostanzialmente che $f(X)$ è un intervallo chiuso e lomitato
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Re: Valori intermedi(con topologia)

Messaggioda Delirium » 05/12/2018, 20:29

Si' certo, gli intervalli sono gli unici connessi di \( \mathbb{R}\) (con la topologia usuale).
E intorno milioni di case
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Re: Valori intermedi(con topologia)

Messaggioda fmnq » 05/12/2018, 20:34

$f(X)$ è un compatto di $RR$, e questo è vero se e solo se è unione numerabile di intervalli chiusi e limitati. E' poi connesso, perciò c'è un solo intervallo.
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Re: Valori intermedi(con topologia)

Messaggioda otta96 » 05/12/2018, 20:41

Il fatto che sia compatto è completamente irrilevante per il teorema dei valori intermedi.
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Re: Valori intermedi(con topologia)

Messaggioda anto_zoolander » 05/12/2018, 20:55

@delirium,otta,fmnq
si chiaramente la compattezza è in più, in quanto mi basterebbe che l’immagine sia un intervallo.
Assumendo la compattezza in pratica mi darebbe weierstrass+valori intermedi

Great
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Re: Valori intermedi(con topologia)

Messaggioda otta96 » 05/12/2018, 21:10

Volendo anche per Weierstrass la compattezza non è proprio necessaria...
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Messaggioda j18eos » 05/12/2018, 22:35

fmnq ha scritto:$f(X)$ è un compatto di $RR$, e questo è vero se e solo se è unione numerabile di intervalli chiusi e limitati. E' poi connesso, perciò c'è un solo intervallo.
Falsissimo: l'insieme di Cantor è un sottoinsieme compatto di \(\mathbb{R}\) con la topologia naturale, infinito più che numerabile, e non contiene intervalli: click! ;)
Ipocrisìa e omofobìa,
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Semplicemente Armando. ;)
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Re: Valori intermedi(con topologia)

Messaggioda dissonance » 06/12/2018, 00:29

Sono d'accordo con la critica di Armando.

Opinione mia: questo modo topologico di vedere il teorema dei valori intermedi sembra molto bello quando uno lo studia, ma naturalmente niente è gratis; resta da dimostrare che i soli connessi di \(\mathbb R\) sono gli intervalli e non è proprio banale.
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Re: Valori intermedi(con topologia)

Messaggioda arnett » 06/12/2018, 08:34

Dovrebbe essere sufficiente avere come spazio di arrivo uno spazio topologico $Y$ con la topologia dell'ordine su di esso; in quel caso si prova che se esistono $x, z\inX$ tali che $f(x)<b<f(z)\inY$ allora esiste $y\in X$ tale che $f(y)=b$, senza dover dire che i soli connessi di $\RR$ sono intervalli.
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Re: Valori intermedi(con topologia)

Messaggioda anto_zoolander » 06/12/2018, 09:54

Ma non è ‘difficile’ mostrare che i connessi di $RR$ siano gli intervalli.
Se $I$ non è un intervallo e quindi esistono $a,c in I$ e $b in RR$ tali che $a<b<c$ e $b notinI$ allora gli insiemi $I_1=Icap(-infty,b)$ e $I_2=Icap(b,+infty)$ sono due aperti di $I$ che lo sconnettono
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