Equazione differenziale del 1° ordine

Messaggioda Caterella » 03/12/2018, 19:17

Ciao, sono alle prese con la preparazione di analisi 2. Ho difficoltà a capire questa equazione differenziale con problema di Cauchy. Come andrebbe svolta? E' lineare omogenea? Grazie.
$ y'=y^2/(xlogx) $
$ y(e^(-1))=3 $
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Re: Equazione differenziale del 1° ordine

Messaggioda Mephlip » 03/12/2018, 19:25

Variabili separabili, non prima di aver fatto delle considerazioni sulla $y$ però!
Attenzione al gergo, non può essere lineare perché compare $y^2$ e non può essere omogenea perché non è nullo il membro di destra.
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Re: Equazione differenziale del 1° ordine

Messaggioda dissonance » 03/12/2018, 19:37

@Caterella: non è possibile non sapere riconoscere se una equazione è lineare o no. Significa che di teoria non hai studiato assolutamente niente. Consiglio di rimediare e di dedicare del tempo alla teoria prima di metterti a fare esercizi alla cieca.
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Re: Equazione differenziale del 1° ordine

Messaggioda Caterella » 03/12/2018, 20:06

Scusate è che ho visto questo esercizio su un compito di qualche anno fa della prof in questione e non lo riconoscevo perchè lei quest'anno ha spiegato solo le equazioni differenziali lineari, omogenee e non (primo e secondo ordine), infatti avevo capito che bisognava separare le variabili ma lei non ha spiegato questo metodo. Evidentemente aveva un programma leggermente diverso, grazie lo stesso!
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Re: Equazione differenziale del 1° ordine

Messaggioda pilloeffe » 05/12/2018, 16:06

Ciao Caterella,
Caterella ha scritto:infatti avevo capito che bisognava separare le variabili

Beh, visto che hai capito questo sei quasi a metà dell'opera e potresti anche provare a risolverla... :wink:
D'altronde si ha:

$ \int_{x_0}^x \frac{y^\prime (t)}{y^2(t)}\ \text{d} t = \int_{x_0}^x \frac{1}{t log t}\ \text{d} t $

ove nel caso in esame $x_0 = 1/e $ e $y(x_0) = 3$. L'integrale sulla sinistra è elementare, quello sulla destra anche perché è del tipo seguente:

$\int \frac{f'(t)}{f(t)} \text{d} t = log|f(t)| + c $

con $f(t) := log t $
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Re: Equazione differenziale del 1° ordine

Messaggioda Fioravante Patrone » 05/12/2018, 23:16

Mephlip ha scritto:Variabili separabili, non prima di aver fatto delle considerazioni sulla $y$ però!
Attenzione al gergo, non può essere lineare perché compare $y^2$ e non può essere omogenea perché non è nullo il membro di destra.

Cosa vuol dire "compare $y^2$" ?
$y'=y+y^2-y^2$ non è lineare? Occhio che si possono fare esempi nei quali è un pelino più difficile rendersi conto che un qualcosa che sembra "comparire" in realtà non c'è!
Mi sa che non sai dimostrare che l'equazione data non è lineare.

La tua considerazione sul fatto che non sia omogenea è "curiosa": sia in sé, sia perché dici che non è lineare, per cui cosa vuol dire che non è omogenea?
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