matrice jacobiana e differenziale

Messaggioda lollolollo » 06/12/2018, 22:49

salve,
ho parecchi dubbi sulla matrice jacobiana e sul differenziale

da quel che ho capito (correggetemi) una funzione è differenziabile se esiste una funzione lineare che approssima la variazione della funzione quando ci spostiamo da un punto del dominio ad un altro molto vicino, inoltre è richiesto dalla definizione che l'errore che si commette approssimando questa variazione deve essere un infinitesimo di ordine superiore alla distanza dei due punti tra cui ci siamo mossi.
ho detto qualcosa di sensato?

inoltre mi sembra di aver capito che questa funzione lineare se esiste è unica ed essa è la matrice jacobiana(che poi puo' corrispondere con il gradiente o con la derivata a seconda delle dimensioni del dominio e del codominio).
ma come si dimostra questa cosa? a lezione il prof ha semplicemente piazzato li la matrice, qualcuno potrebbe farmi una dimostrazione?

inoltre ho letto da qualche parte che se una funzione è differenziabile in un punto esiste un piano che la approssima in quel punto.
questa cosa come è legata all'interpretazione che ho precedentemente dato al differenziale? noto che nella definizione si parla di approssimazione e di linearità ma nonostante cio' non riesco a giungere a questa conclusione.

grazie mille!
lollolollo
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Re: matrice jacobiana e differenziale

Messaggioda anto_zoolander » 07/12/2018, 03:04

Ciao!
Partiamo dalla definizione(corretta) che hai dato:
siano $V,W$ due $RR-$spazi normati, $UsubsetV$ un aperto di $V$(non vuoto) e $f:U->W$ una funzione.
$f$ si dice differenziabile in un punto $x_0 in U$ se esiste $L:V->W$ lineare e continua per cui valga

$f(x_0+h)=f(x_0)+L(h)+o(||h||)$

questa uguaglianza deve valere in almeno un intorno di $h=0$

due commenti
- il primo è che la stessa definizione la puoi prendere su un qualsiasi sottoinsieme purché abbia interno non vuoto, andando a considerare la differenziabilità nei punti interni. Il motivo di prendere i punti interni è che ti danno la possibilità di muoverti all'interno di una palletta.

- il secondo è che negli spazi normati di dimensione finita la continuità potrebbe anche essere omessa, cosa che poi torna a servire in dimensione infinita. Così è abbastanza generale

lollolollo ha scritto:inoltre è richiesto dalla definizione che l'errore...

se prendi la definizione 'migliore' di o-piccolo dove si ha

$f(x_0+h)=f(x_0)+L(h)+phi(h)||h||$ con $phi(h)->0$


segue subito che $||f(x_0+h)-f(x_0)-L(h)||=||phi(h)||*||h||$ ossia che per ogni 'soglia' $epsilon>0$ fissata esiste almeno un intorno di $h=0$ nel quale l'errore commesso non supera mai $epsilon||h||$ il che da una approssimazione 'molto buona' sufficientemente vicini al punto in questione.

lollolollo ha scritto:se esiste è unica ed essa è...

E' vero, se esiste è unica. Ti invito a dimostrare che se tale applicazione esiste allora verifica

$forallv in V, lim_(t->0)(f(x_0+tv)-f(x_0))/t=L(v)$

questo ti garantisce l'unicità, no?

poi una volta dimostrata l'unicità considerali di dimensione finita per chiarirti le idee e poni due basi. Una volta fissate due basi esisterà un'unica matrice che rappresenterà la funzione $L$ e quella sarà la matrice Jacobiana.

Intanto fammi sapere se quanto scritto ti possa esser d'aiuto, in caso continuiamo.
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Re: matrice jacobiana e differenziale

Messaggioda lollolollo » 10/12/2018, 11:34

Grazie!

anto_zoolander ha scritto:poi una volta dimostrata l'unicità considerali di dimensione finita per chiarirti le idee e poni due basi. Una volta fissate due basi esisterà un'unica matrice che rappresenterà la funzione $L$ e quella sarà la matrice Jacobiana.


penso di essermi perso qui :cry:
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Re: matrice jacobiana e differenziale

Messaggioda anto_zoolander » 10/12/2018, 23:24

Una volta dimostrato che

$L(v)=lim_(t->0)(f(x_0+tv)-f(x_0))/h$


supponiamo che $dimV=n$, $dimW=m$ e poniamo

$B_V={v_1,...,v_n}$

$B_W={w_1,...,w_m}$

basi dei due spazi vettoriali. Utilizzo $partial_(v)f(x_0)=lim_(t->0)(f(x_0+tv)-f(x_0))/t$

Dai teoremi sulle applicazioni lineari sappiamo che $im(L)= << L(v_1),...,L(v_n) >>$
Vorremmo trovare la matrice rappresentativa di $L$ rispetto alle due basi fissate.

Qui entra in gioco la funzione $f$ che può essere scritta come $f(x)=sum_(k=1)^(n)f_k(x)w_k$ con le $f_k:U->RR$

$partial_(v)f(x_0)=sum_(k=1)^(m)partial_(v)f_k(x_0)w_k$

a questo punto è chiaro che $forallj=1,...,n$ si ha $L(v_j)=partial_(v_j)f(x_0)=sum_(k=1)^(m)partial_(v_j)f_k(x_0)w_k$

A questo punto possiamo costruire la matrice rappresentativa di $L$ dove sappiamo che le colonne della matrice sono composte dai coefficienti rispetto a $B_W$ delle immagini dei vettori di $B_V$ ossia:

$J_(f)(x_0)=[(partial_(v_1)f_1(x_0),partial_(v_2)f_1(x_0),...,partial_(v_n)f_1(x_0)),(partial_(v_1)f_2(x_0),partial_(v_2)f_2(x_0),...,partial_(v_n)f_2(x_0)),( : , : , ... , : ), (partial_(v_1)f_m(x_0),partial_(v_2)f_m(x_0),...,partial_(v_n)f_m(x_0))]$

questa matrice, ossia la matrice rappresentativa della applicazione lineare, è detta Jacobiana di $f$ in $x_0$

nel caso in cui $dimW=1$ si ha che $J_f(x_0)$ si riduce ad un vettore riga $1timesn$
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Re: matrice jacobiana e differenziale

Messaggioda lollolollo » 11/12/2018, 21:57

anto_zoolander ha scritto:
$partial_(v)f(x_0)=sum_(k=1)^(m)partial_(v)f_k(x_0)w_k$



ma questo perchè?
grazie
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Re: matrice jacobiana e differenziale

Messaggioda lollolollo » 11/12/2018, 23:18

anto_zoolander ha scritto:Una volta dimostrato che

$L(v)=lim_(t->0)(f(x_0+tv)-f(x_0))/h$




qui al denominatore dovrebbe essere $t$ giusto?
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Re: matrice jacobiana e differenziale

Messaggioda anto_zoolander » 12/12/2018, 00:58

Si, piccolo refuso, lì ci andava $t$.

Se esprimi una funzione vettoriale in termini di

$f(x)=sum_(k=1)^(m)f_k(x)w_k$

Puoi dimostrare che la derivata di $f$ lungo $v$, $partial_(v)f(x_0)$, coincide con

$sum_(k=1)^(n)partial_(v)f_k(x_0)w_k$

È abbastanza semplice da dimostrare
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