Ho trovato l'approccio sul primo volume dell'opera di Belluzzi
1 (pag. 308) e in un articolo (
link).
Procedendo in questo modo, quello che devi fare è calcolare sostanzialmente i coefficienti della serie. Noti tali coefficienti, ottieni la linea elastica $w(z)$. Vediamo di scendere nel dettaglio. Ti riporto quello che ho capito, che non è detto coincida con il modo di procedere del tuo prof.
Lo sviluppo in serie (di MacLaurin) della funzione linea elastica è:
\[
w(z) = w(0) + w'(0) \cdot z + w''(0) \cdot \frac{z^2}{2!} + w'''(0) \cdot \frac{z^3}{3!}\;; \qquad 0 \leq z \leq l/2
\]
Si tratta di calcolare i coefficienti \(w(0)\), \(w'(0)\), \(w''(0)\), \(w'''(0)\) nel caso di trave appoggiata appoggiata con carico in mezzeria. Questi sono tutti di immediata determinazione, escluso \(w'(0)\) che richiede qualche riflessione. Andiamo per ordine.
- \(w(0)\) rappresenta lo spostamento verticale in corrispondenza di $z=0$ ovvero del primo appoggio se fissiamo il sistema di riferimento locale con origine in $A$. A causa del vincolo presente in tale punto si ha $w(0)=0$;
- \(w''(0)\), per la relazione $(2)$ è nullo, perché è nullo il momento in $z=0$;
- \(w'''(0)\), per la relazione $(1)$ è pari a:
\[
w'''(0) = -\frac{T(0)}{\mathrm{EI}} = - \frac{F/2}{\mathrm{EI}}.
\]
Il secondo coefficiente, \(w'(0)\) è pari a \(\frac{Fl^2}{16\,\mathrm{EI}}\) (vedi spoiler).
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Tenuto conto delle espressioni dei coefficienti \(w(0)\), \(w''(0)\) e \(w'''(0)\), lo sviluppo della linea elastica si riduce a:
\[
w(z) = w'(0) \cdot z - \frac{F/2}{\mathrm{EI}} \cdot \frac{z^3}{3!} \;; \qquad 0 \leq z \leq l/2
\]
Deriviamo rispetto alla variabile $z$ in modo da ottenere la funzione \(w'(z)\) ovvero la rotazione (a meno del segno; cfr. relazione $3$ sopra riportata):
\[
w'(z) = w'(0) - \frac{F}{\mathrm{EI}} \cdot \frac{z^2}{4}
\]
A questo punto, sfruttando il fatto che la rotazione in mezzeria, cioè a \(z=l/2\) è certamente nulla, otteniamo:
\begin{align*}
w'(l/2) &=0\\[1ex]
w'(0) - \frac{F}{\mathrm{EI}} \cdot \frac{(l/2)^2}{4} &= 0\\[1.5ex]
\end{align*}
in questa equazione l'unica incognita è proprio \(w'(0)\) che vale dunque:
\[
w'(0) = \frac{F\,l^2}{16\,\mathrm{EI}}.
\]
La linea elastica in definitiva è:
\[
w(z) = \frac{F\,l^2}{16\,\mathrm{EI}} \cdot z - \frac{F}{12\,\mathrm{EI}} \cdot z^3\;; \qquad 0 \leq z \leq l/2
\]
Ripeto, è un procedimento improntato alla buona e basato su quanto dice l'articolo linkato; non avendo mai applicato questo metodo (che tra l'altro disconoscevo completamente), prendi con le pinze quanto ho scritto.