Una dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra

[mklplo]

Salve, ultimamente, in contemporanea con gli studi, ho voluto provare a dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra usando comunque un po' di analisi (e infatti non so se questa sia la sezione più adatta).
Per dimostrare il teorema ho provato a ragionare così:
1)Per prima cosa dimostriamo che una polinomiale di grado $n$, $p_n(z):CC->CC$ è una funzione suriettiva.
Per fare questo noto che $p_n(z)$ è asintonitcamente equivalente a $z_n$,e poi come si sa $z_n=\rho e^(n\theta i)$ .
Ora faccio $limsu p _((\rho,\theta)->(+oo,+oo)) \rho e^(n\theta i )$ e $limi n f_((\rho,\theta)->(+oo,+oo)) \rho e^(n\theta i )$, che fanno rispettivamente $+oo+ooi$ e $-oo-ooi$ e quindi per il motivo detto prima anche gli stessi limiti però per $p_n(z)$ darebbe gli stessi risultati, e per continuità la funzione assume tutti i valori intermedi ed è quindi suriettiva.
2)Dimostrato che $p_n(z)$ è suriettiva è ovvio che abbia uno zero, che chiameremo $z_0$.
3) Il rapporto $\frac{p_n(z)}{(z-z_0)}$ è nuovamente un polinomio (se $n>=2$) e quindi per il motivo detto prima avrà uno zero.
Ripetendo il procedimento, risulta che $p_n(z)$ ha $n$ zeri e quindi la dimostrazione è finita.

[mklplo]

Secondo voi la dimostrazione è corretta oppure presenta degli errori (sperando che almeno parte della dimostrazione sia corretta).

[anto_zoolander]

Per prima cosa dimostriamo che una polinomiale di grado $n$, $p_n(z):CC->CC$ è una funzione suriettiva.

sei sicuro? la funzione $P_1(z)=1$ non è suriettiva e nemmeno un qualsiasi polinomio $P_n(z)=sum_(k=0)^(n)a_kRe(z)^k$ con gli $a_k$ reali

[mklplo]

In realtà con $p_n(z)$ intedevo funzioni del tipo $z^n+a_1*z^(n-1)+...+a_n$, quindi per $n=1$ avrei $z+a_1$ dove gli $a_k$ sono valori o reali o complessi. Ovviamente se la funzione è costante o se prendo solo la parte reale di $z$ non mi è assicurata la suriettività.

[mklplo]

Secondo te, quindi la dimostrazione è corretta, tenendo conto che prima non avevo definito bene $p_n(z)$?

[anto_zoolander]

So cos’è un polinomio
Quello alla fine dei conti risulta un polinomio reale.

Comunque il problema fondamentale è la tua affermazione sui valori intermedi. $CC$ non è totalmente ordinato quindi non ha senso parlare di valori intermedi.
Anche se ricordo di un post di eos o delirium in cui parlavano dell’ordine lessicografico, ma non so addentrarmi in questo.

[mklplo]

Giusto, bel errore. Secondo te se definisco una relazione d'ordine usando il modulo, posso aggirare il problema, oppure potrei trovare una soluzione se dimostrassi che l'immagine è semplicemnte connessa?

[anto_zoolander]

Ordineresti $CC$ parzialmente, non totalmente.
Una dimostrazione topologica usa gli indici di avvolgimento: guarda quì.

Vai su "dimostrazioni" -> "dimostrazione topologica"

[mklplo]

Grazie del link, a quanto pare era un idea che non poteva funzionare, infatti l'unica altra cosa che mi era venuta in mente è che dato che $CC$ è semplicemente connesso ha allora gruppo fondamentale banale, poi ho pensato che a una funzione continua induce un omomorfismo fra gruppi fondamentali e quindi ottenevo un altro gruppo banale, quindi l'immagine del polinomio risultava semplicemente connessa (però poi non so se usando l'argomentazione con i limiti potessi ottenere che la funzione fosse o no suriettiva).

[dissonance]

Ma no, lascia stare questi ordini sui numeri complessi, l'idea originale di questo thread è semplicemente sbagliata e irrecuperabile.