Un aiuto su questa disequazione

[maion]

Buongiorno a tutti voi. Cercavo di risolvere:

$x^(2/x)>1$ ho pensato di scrivere $log_x(x)^(2/x)>log_x1$

Ovviamente imponendo le CE:

$(x)^(2/x)>0$
$x$ diversa da 1
$x>0$

così da avere $2/x>0$ però vedo che il risultato non mi viene corretto.
Mi potreste per farove spiegare perché è sbagliata una soluzione del genere. Grazie

[pilloeffe]

Ciao maion,

Potresti iniziare scrivendola nella forma alternativa seguente:

$(root[x]{x} - 1)(root[x]{x} + 1) > 0 $

che se $x > 0 $ si riduce a $ root[x]{x} > 1 $

Poi potresti anche osservare che $e^0 = 1 $ e per $ x > 0 $ il termine $x^{1/x} $ si può scrivere $e^{\frac{ln x}{x}} $

[maion]

Ora provo questa strada grazie

Ma potrei chiederti intanto dove sbagliavo nella mia, la cosa grave è che non capisco l'errore e vorrei capirlo bene per non rifarlo in futuro.

Grazie pilloeffe.

[Palliit]

Ciao. Più banalmente, dopo aver posto: $x>0$, basta prendere il logaritmo naturale (o in qualsiasi altra base, preferibilmente maggiore di $1$ ) di ambo i membri della disequazione, ottenendo:

$2/x*lnx>0$ ,

che per la condizione imposta inizialmente equivale a:$" "lnx>0$.

... dove sbagliavo nella mia...

Prendendo il logaritmo in base $x$, la disequazione resta nello stesso verso se poni $x>1$, cambia invece se prendi $0<x<1$. Quindi sbagli qua:

$ log_x(x)^(2/x)>log_x1 $

a non separare i due casi.

[maion]

Dal non saperla risolvere ora so due metodi, vi ringrazio.

Avrei solo un problema sul metodo di pilloeffe, in particolare arrivo ad avere

$e^(logx/x)>e^1$

cioè

$logx>x$

ma questa sarebbe sempre verificata. Sbaglio ancora qualcosa uffa.

[Palliit]

$e^(logx/x)>e^1$

No, è:$" "e^(logx/x)>e^0$.

$ logx>x $ ma questa sarebbe sempre verificata

Questa (che comunque non c'entra con lo svolgimento corretto) non è mai verificata, puoi facilmente accertartene per via grafica.

[maion]

Hai perfettamente ragione, e il bello che ci stavo ragionando sopra, era così evidente
Speriamo di migliorare

Questa (che comunque non c'entra con lo svolgimento corretto) non è mai verificata, puoi facilmente accertartene per via grafica.

Qua ho fatto un lapsus enorme, ovviamente MAI data la concavità del log. Ne avevo già parlato sul forum


Grazie mille a tutti e due.