Cardinalità

[Asclepiade]

Salve a tutti!

So che, per definizione, dati due insiemi A e B:
esiste una funzione iniettiva e suriettiva $f:A \rightarrow B$ implica $Card(A)=Card(B)$

Invece "$Card(A)=Card(B)$ implica esiste una funzione iniettiva e suriettiva $f:A\rightarrowB$" è vera o falsa?

[dissonance]

È un po' strana questa domanda, perché per me quella è proprio la definizione di "cardinalità". Quale sarebbe la definizione di \(\mathrm{card}(A)\), secondo te?

[Asclepiade]

Non lo so. So solo dare un senso alla frase "due insiemi hanno la stessa cardinalità"

[Asclepiade]

Spiego meglio il motivo della domanda.
Provando a dimostrare il teorema di Cantor-Schroeder-Bernstein, Siano A e B due insiemi, e siano $f:A\rightarrowB$ e $g:B\rightarrowA$ due funzioni iniettive. Allora esiste una funzione iniettiva e suriettiva $h:A\rightarrowB$, ho proceduto in questo modo:
$f:A\rightarrowB$ è iniettiva implica $Card(A)<=Card(B)$
$g:B\rightarrowA$ è iniettiva implica $Card(B)<=Card(A)$
Allora, per la tricotomia dei cardinali, $Card(A)=Card(B)$
Quindi se l'implicazione del primo messaggio vale in entrambi i sensi, allora il teorema è dimostrato. Altrimenti no.

[dissonance]

Ok, allora qual è la definizione di "due insiemi hanno la stessa cardinalità"?

[Asclepiade]

Caro dissonance, ti chiedo gentilmente di evitare retoriche inutili e dare spiegazioni dritte al punto.
Lo ripeto di nuovo.
Dati due insiemi A e B, se esiste una funzione iniettiva e suriettiva $f:A→B$ allora $Card(A)=Card(B)$

[dissonance]

Nessuna retorica inutile. Come vedi, quello che hai scritto è esattamente la risposta alla tua domanda iniziale.

Invece "Card(A)=Card(B) implica esiste una funzione iniettiva e suriettiva f:A→B" è vera o falsa?

[Asclepiade]

Ok. La definizione dice che l'implicazione è in un solo verso. Tuttavia il concetto di cardinalità di un insieme è stato creato per rendere il concetto di "numero di elementi di un insieme". Mi sembra strano che tra due insiemi che "hanno lo stesso numero di elementi" non possa essere esistere una funzione biiettiva...

[dissonance]

Quando si dà una definizione, si scrive "se" intendendo "se e solo se";

https://math.stackexchange.com/q/566565/8157

[Asclepiade]

Ecco, grazie mille!!
Mi ha un po sconvolto questo fatto... Non lo sapevo proprio.
Ma quindi la mia dimostrazione dovrebbe essere corretta..