Serie e ancora serie, un esercizio

Messaggioda harperf » 10/12/2018, 11:24

Ho alcuni problemi sulla serie a seguire, vorrei chiedervi una mano.

$sum_(n>=1) (sin(sin(n!)))^n$, studiare convergenza semplice ed assoluta

Essendo a termini variabili ho pensato di metterla sotto modulo e studiare la serie dei moduli...

A questo punto essendo l'argomento del sin più interno una funzione che varia tra -1 e 1, il modulo della composta (due seni escluso l'esponente) non supererà il seno di 1 e di -1, ed essendo dispari sarà sin(1), in definitiva:
ora studio $(sin1)^n$ la quale è una geometrica con ragione minore di 1 e converge.

A parte i dubbi su questa risoluzione di cui non vado molto fiero, non riesco in realtà a svolgere inizialmente la verifica sulla condizione necessaria di convergenza: $lim_(n->oo) (sin(sin(n!)))^n$ non riesco a trovare un metodo valido per questo limite. Il fatto è che mi sembrerebbe una composizione di un limite che non esiste (a infinito), dunque dovrebbe saltare l'intero limite.

E in secondo luogo mi chiedo come potrei studiare la convergenza semplice.

Vi ringrazio
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Re: Serie e ancora serie, alcuni esercizi.

Messaggioda pilloeffe » 10/12/2018, 15:21

Ciao harperf,
harperf ha scritto:mi chiedo come potrei studiare la convergenza semplice.

Non ne capisco il motivo: esiste un ben noto teorema che afferma che se una serie è assolutamente convergente allora è anche semplicemente convergente. Non vale il viceversa, infatti $\sum_{n = 1}^{+infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{n} $ converge (a $ln2 $), mentre la serie assoluta è la serie armonica, notoriamente divergente.
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Re: Serie e ancora serie, alcuni esercizi.

Messaggioda harperf » 10/12/2018, 15:48

Buon pomeriggio pilloeffe,

intendevo dire che non sono sicuro dello svolgimento e non saprei come verificare tramite semplice. Perché se magari trovassi che non è semplicemente convergente potrei dedurre di aver sbagliato usando la contronominale.

Soprattutto perché
$lim_(n->oo) (sin(sin(n!)))^n$ non riesco a trovare un metodo valido per questo limite. Il fatto è che mi sembrerebbe una composizione di un limite che non esiste (a infinito), dunque dovrebbe saltare l'intero limite.

mi aspetto una non convergenza poiché mi sembra tale limite non esista, secondo me ho sbagliato qualcosa. :roll:

Insomma, il dubbio vero e proprio è sullo svolgimento, per i dubbi elencati :oops:
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Re: Serie e ancora serie, alcuni esercizi.

Messaggioda otta96 » 10/12/2018, 16:42

Basta che usi il criterio della radice (sia per la successione che per la serie).
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Re: Serie e ancora serie, alcuni esercizi.

Messaggioda harperf » 10/12/2018, 16:58

@otta96: aspetta mi stai dicendo di fare

$lim_(n->oo) \root[n]|((sin(sin(n!)))^n)|=lim_(n->oo) |\root[n]((sin(sin(n!)))^n)|$ che risulta tra 0 e sin(1) quindi minore di 1, per il criterio della radice allora la successione dei moduli $|a_n|=|(sin(sin(n!)))^n|$ ha per limite 0, dunque sapendo che $lim_(n->oo) |a_n|=0 <=>lim_(n->oo) a_n=0$, il limite vale zero?
Cioè la condizione necessaria è soddisfatta
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Re: Serie e ancora serie, alcuni esercizi.

Messaggioda otta96 » 10/12/2018, 17:07

Più o meno, nel senso che il limite non è indispensabile che esista, basta che esiste il limite superiore a sia minore di $1$, come nel nostro caso. Il resto va bene (anche se in realtà non si capisce molto cosa hai scritto nei limiti).
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Re: Serie e ancora serie, alcuni esercizi.

Messaggioda harperf » 10/12/2018, 17:09

Si perdonami stavo aggiustndo i moduli nei limiti :)

harperf ha scritto:A questo punto essendo l'argomento del sin più interno una funzione che varia tra -1 e 1, il modulo della composta (due seni escluso l'esponente) non supererà il seno di 1 e di -1, ed essendo dispari sarà sin(1), in definitiva:
ora studio $(sin1)^n$ la quale è una geometrica con ragione minore di 1 e converge.


Ma secondo te questo ragionamento è da buttare del tutto,una volta verificata la condizione che abbiamo visto funzionare?
------------------------
Infine

Un'ultma cosa su questo argomento, abbiamomostrato che un limite del tipo

Sia $f(g(n))$ con $lim_(n->oo) g(n)=$non esiste
Allora $lim_(n->oo) f(g(n))$ come visto può esistere.

Questo per le successioni, ma in generale è vero anche per x nei reali?

Perché in realtà mi sembra un fatto che:

Sia $f(g(x))$ con $lim_(x->x_0) g(x)=$non esiste
Allora $lim_(x->x_0) f(g(x))$ a sua volta non esiste.

Ti/vi rigrazio
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Re: Serie e ancora serie, alcuni esercizi.

Messaggioda otta96 » 10/12/2018, 17:39

Per la prima cosa, il ragionamento che hai fatto serve a mostrare che sono soddisfatte le ipotesi del criterio dalle radice, quindi non è affatto da buttare.
Per la seconda cosa, in generale non si può dire nulla, il limite può non esistere, ma anche esistere (prendi ad esempio una $f$ costante).
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Re: Serie e ancora serie, alcuni esercizi.

Messaggioda harperf » 10/12/2018, 17:47

Per la seconda cosa, in generale non si può dire nulla, il limite può non esistere, ma anche esistere (prendi ad esempio una f costante).


Non riesco a trovare controesempi per cui valga, so che non è una dimostrazione, ma mi aveva portato a indurre
Sia $f(g(x))$ con $lim_(x->x_0) g(x)=$non esiste
Allora $lim_(x->x_0) f(g(x))$ a sua volta non esiste.
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Re: Serie e ancora serie, alcuni esercizi.

Messaggioda otta96 » 10/12/2018, 18:04

Se è costante anche la composta con l'altra sarà costante (allo stesso valore).
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