Matrici scalini e basi di "Span"

[3m0o]

Perdonatemi se faccio errori di traduzione.
Trovare una base a scalini ridotta del sottospazio vettoriale \(W\) di \(K^n\).
1) \(K=\mathbb{Q}, n=3, W=\operatorname{Span}((1,-3,-2),(2,-3,5)) \)
2) \(K=\mathbb{F}_3, n=5, W=\operatorname{Span}((0,2,1,0,2),(1,0,1,2,1),(2,0,2,2,1)) \)

Con \( L_{ij}(\lambda) \) intendo sommare alla lignea \( i \) la lignea \( j \) moltiplicata per lo scalare \(\lambda\)
Con \( T_{ij} \) intendo invertire la posizione della lignea \( i \) e della lignea \( j \)
Con \( D_{i}(\lambda) \) intendo moltiplicare la lignea \( i \) per lo scalare \(\lambda\)

Per il primo ho fatto \( \begin{pmatrix}
1&-3&-2 \\
2&-3&5
\end{pmatrix} \overset{L_{21}(-2)}{{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1&-3&-2 \\
0&3&9
\end{pmatrix} \overset{L_{12}(1)}{\underset{D_2(1/3)}{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1&0&7 \\
0&1&3
\end{pmatrix} \)

Mentre nelle correzioni c'è scritto:

\( \begin{pmatrix}
1&3&-2 \\
2&-3&5
\end{pmatrix} \overset{L_{21}(-2)}{{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1&3&-2 \\
0&-9&9
\end{pmatrix} \overset{L_{12}(1/3)}{\underset{D_2(-1/9)}{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1&0&1 \\
0&1&-1
\end{pmatrix} \)

Mi domandavo se sono io ad aver sbagliato oppure sono le correzioni del prof, che ha cambiato segno al \( -3\) (l'elemento \( a_{12} \) della matrice.

Per il secondo avevo un piccolo dubbio, io ho fatto così.
\( \begin{pmatrix}
0& 2 & 1 &0 & 2\\
1 &0 &1 &2 &1 \\
2 &0 &2 &2 &1
\end{pmatrix} \overset{T_{12}}{{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1 &0 &1 &2 &1 \\
0& 2 & 1 &0 & 2\\
2 &0 &2 &2 &1
\end{pmatrix} \overset{L_{31}(1)}{{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1 &0 &1 &2 &1 \\
0& 2 & 1 &0 & 2\\
0 &0 &0 &1 &2
\end{pmatrix} \overset{D_{2}(2)}{{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1 &0 &1 &2 &1 \\
0& 1 & 2 &0 & 1\\
0 &0 &0 &1 &2
\end{pmatrix} \overset{L_{13}(1)}{{\rightsquigarrow}} \begin{pmatrix}
1 &0 &1 &0 &0 \\
0& 1 & 2 &0 & 1\\
0 &0 &0 &1 &2
\end{pmatrix}\)

Ora posso dire che una base del punto (1) è \( B_W = ((1,0,7),(0,1,3) ) \) mentre nel punto (2) \( B_W = ((1,0,1,0,0),(0,1,2,0,1),(0,0,0,1,2) ) \) e se si come mai queste due sono delle basi? Rispettivamente di \(\operatorname{Span}((1,-3,-2),(2,-3,5)) \) e \(\operatorname{Span}((0,2,1,0,2),(1,0,1,2,1),(2,0,2,2,1)) \)?

[axpgn]

Scusami, non vorrei dire fesserie, ma hai applicato la "normale" riduzione a scalini però hai disposto i vettori in riga invece che in colonna?
Per esempio, nel primo caso, se provi a usare quelle basi per generare il primo dei due vettori non ci riesci ... così a me pare

Cordialmente, Alex

[3m0o]

Scusami, non vorrei dire fesserie, ma hai applicato la "normale" riduzione a scalini però hai disposto i vettori in riga invece che in colonna?
Per esempio, nel primo caso, se provi a usare quelle basi per generare il primo dei due vettori non ci riesci ... così a me pare

Cordialmente, Alex

Poniamo \( v_1= (1,0,7) \) e \( v_2= (0,1,3) \) i due vettori della base, \( \lambda v_1 + \mu v_2 = (1,-3,-2) \) con \( \lambda = 1 \) e \(\mu=-3 \) funziona. Inoltre \( \alpha v_1 + \beta v_2 = (2,-3,5) \) con \( \alpha = 2 \) e \(\beta=-3 \) funziona pure!
La cosa strana è che anche la base delle correzioni \( w_1= (1,0,1) \) e \( v_2= (0,1,-1) \) genera i due vettori, ma in corso abbiamo dimostrato che la forma a scalini ridotta è unica... e io ottengo una matrice ridotta diversa da quella delle correzioni ma entrambe le basi generano lo spazio.

Penso si faccia così (?), ma volevo appunto chiedere il perché bisogna fare così e anche il perché si ottiene una base.
Cito un esempio fatto in corso:
Trovare una base di \(W= \operatorname{Span}(1+t,t^3-t,t^2+t+2,t^3-2t^2-2t-3) \subset \mathbb{R}[t]_{\leq 3} \) e completarla in una base di \(\mathbb{R}[t]_{\leq 3} \). Fissiamo una base ordinata \( B=(1,t,t^2,t^3)\) di \(\mathbb{R}[t]_{\leq 3} \). Abbiamo che i vettori \( v_1, v_2,v_3,v_4 \) espressi in \( B \) sono \( (v_1)_B = \begin{pmatrix}
1\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \) , \( (v_2)_B = \begin{pmatrix}
0\\
-1\\
0\\
1
\end{pmatrix} \) , \( (v_3)_B = \begin{pmatrix}
2\\
1\\
1\\
0
\end{pmatrix} \) , \( (v_4)_B = \begin{pmatrix}
-3\\
-2\\
-2\\
1
\end{pmatrix} \) ,

Riduciamo a scalini la matrice:
\( \begin{pmatrix}
1& 1 & 0 &0 \\
0 & -1 &0 &1 \\
2 & 1 & 1 & 0\\
-3 & -2 & -2 &1
\end{pmatrix} \rightsquigarrow \begin{pmatrix}
1& 1 & 0 &0 \\
0 & 1 &0 &-1 \\
0 & 0 & 1 & -1\\
0 & 0 & 0 &0
\end{pmatrix} \)
Abbiamo dunque che le lignee non nulle della matrice a scalini rappresentano una base di \( W \) e questa base è \( B_W = (1+t, t-t^3 , t^2-t^3) \) e per completarla in una base di \(\mathbb{R}[t]_{\leq 3} \) è sufficiente aggiungere \( t^3 \).

[axpgn]

La riduzione a scalini è unica ma tu e il prof partite da vettori diversi e siccome le basi non sono uniche, avrete trovato basi diverse …
Quello che non capisco è il modo con cui fai la riduzione …

Cordialmente, Alex

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Si dice "linea" e "linee"

[3m0o]

La riduzione a scalini è unica ma tu e il prof partite da vettori diversi e siccome le basi non sono uniche, avrete trovato basi diverse …
Quello che non capisco è il modo con cui fai la riduzione …

Cordialmente, Alex

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Si dice "linea" e "linee"

E perché il prof parte dalla matrice \( \begin{pmatrix}
1 &3 &-2 \\
2 &-3 &5
\end{pmatrix} \) invece che da \( \begin{pmatrix}
1 &-3 &-2 \\
2 &-3 &5
\end{pmatrix} \) ??

Cos'è che non capisci del modo in cui faccio la riduzione?

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Sono così abituato a scrivere in francese che ho dimenticato l'italiano, "ligne" mi viene da tradurlo con lignea e non linea... ops

[axpgn]

Devi chiederlo al prof …

Sono abituato a mettere i vettori in verticale, fare la "normale" riduzione e prendere come base i vettori colonna-pivot mentre tu li metti in orizzontale, fai la "normale" riduzione e li riprendi tutti come base.
Avevo letto che si poteva lavorare anche per righe ma non mi ricordo come fosse la procedura ...

[dissonance]

Mi domandavo se sono io ad aver sbagliato oppure sono le correzioni del prof, che ha cambiato segno al \( -3\) (l'elemento \( a_{12} \) della matrice.

Sembra proprio un errore di trascrizione.

[3m0o]

Devi chiederlo al prof …

Sono abituato a mettere i vettori in verticale, fare la "normale" riduzione e prendere come base i vettori colonna-pivot mentre tu li metti in orizzontale, fai la "normale" riduzione e li riprendi tutti come base.
Avevo letto che si poteva lavorare anche per righe ma non mi ricordo come fosse la procedura ...

Scusa ma cosa intendi con "normale" riduzione ?
Perché ad esempio se avessimo \( W= \operatorname{Span}((1,1,1),(1,2,1) ) \)
Nel modo che faccio io
\( \begin{pmatrix}
1 & 1 &1 \\
1 & 2& 1
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 0 &1 \\
0 & 1& 0
\end{pmatrix} \)

Ottengo una base \(B=( (1,0,1),(0,1,0))\) di \( W \) mentre invece mettendo i vettori in colonna: \( \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2\\
1 &1
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1\\
0&0
\end{pmatrix} \) non ottieni una base \( B'=((1,0,0),(1,1,0))\) di \( W \) se invece la riduci a scalini facendo l'algoritmo di Gauss con le colonne allora è equivalente perché farlo con le colonne mettendo in colonna i vettori o farlo con le linee mettendo i vettori in linea non cambia nulla... ? Non capisco cosa fai per trovare la base dello span di vettori.

[axpgn]

Te l'ho detto come faccio, normalmente …

Esempio:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$S={[(1),(1),(2),(1)][(2),(2),(4),(2)][(2),(0),(-1),(1)][(7),(1),(-1),(4)][(0),(2),(5),(1)]}$

$W=<S>$

Riduzione a scalini

$[(1),(0),(0),(0)][(2),(0),(0),(0)][(2),(-2),(-5),(-1)][(7),(-6),(-15),(-3)][(0),(2),(5),(1)]$

$[(1),(0),(0),(0)][(2),(0),(0),(0)][(2),(1),(1),(1)][(7),(3),(3),(3)][(0),(-1),(-1),(-1)]$

$[(1),(0),(0),(0)][(2),(0),(0),(0)][(2),(1),(0),(0)][(7),(3),(0),(0)][(0),(-1),(0),(0)]$

La prima e la terza sono le colonne pivot quindi

$B={[(1),(1),(2),(1)][(2),(0),(-1),(1)]}$

è una base per $<S>$.

Nel nostro caso

$W=<[(1),(1),(1)][(1),(2),(1)]>$

Riduco a scalini ed ottengo

$[(1),(0),(0)][(1),(1),(0)]$

Sono tutte e due colonne pivot quindi

$B={[(1),(1),(1)][(2),(1),(0)]}$

è una base di $W$ e non quella che hai scritto tu.

Ok?

Per quanto riguarda colonne e righe, capisco che è la stessa cosa se operi la riduzione "in orizzontale" invece che "in verticale" ma se il "verso" della riduzione è lo stesso nei due casi mi pare strano … IMHO

Cordialmente, Alex

[3m0o]

Te l'ho detto come faccio, normalmente …

Esempio:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$S={[(1),(1),(2),(1)][(2),(2),(4),(2)][(2),(0),(-1),(1)][(7),(1),(-1),(4)][(0),(2),(5),(1)]}$

$W=<S>$

Riduzione a scalini

$[(1),(0),(0),(0)][(2),(0),(0),(0)][(2),(-2),(-5),(-1)][(7),(-6),(-15),(-3)][(0),(2),(5),(1)]$

$[(1),(0),(0),(0)][(2),(0),(0),(0)][(2),(1),(1),(1)][(7),(3),(3),(3)][(0),(-1),(-1),(-1)]$

$[(1),(0),(0),(0)][(2),(0),(0),(0)][(2),(1),(0),(0)][(7),(3),(0),(0)][(0),(-1),(0),(0)]$

La prima e la terza sono le colonne pivot quindi

$B={[(1),(1),(2),(1)][(2),(0),(-1),(1)]}$

è una base per $<S>$.

Nel nostro caso

$W=<[(1),(1),(1)][(1),(2),(1)]>$

Riduco a scalini ed ottengo

$[(1),(0),(0)][(1),(1),(0)]$

Sono tutte e due colonne pivot quindi

$B={[(1),(1),(1)][(2),(1),(0)]}$

è una base di $W$ e non quella che hai scritto tu.

Ok?

Per quanto riguarda colonne e righe, capisco che è la stessa cosa se operi la riduzione "in orizzontale" invece che "in verticale" ma se il "verso" della riduzione è lo stesso nei due casi mi pare strano … IMHO

Cordialmente, Alex

Scusa se insisto ma vorrei capire.
Nell esempio che ho dato io te hai dato come base $B={[(1),(1),(1)][(2),(1),(0)]}$, volevi scrivere $B={[(1),(1),(1)][(1),(2),(1)]}$ ??
Forse ho capito il motivo per cui sono equivalenti.
Credo con \(<S>\) indichi lo \( \operatorname{Span}((1,1,2,1),(2,2,4,2),(2,0,-1,1),(7,1,-1,4),(0,2,5,1)) \), sbaglio?
Ad ogni modo, consideriamo un'applicazione lineare \( \phi : V=K^5 \rightarrow K^4=W \) dove \( K \) è un campo, fissiamo una base di \(V\) \( B_V= (e_1, e_2,e_3,e_4,e_5 ) \) e fissiamo una base di \(W\), \(B_w= (f_1, f_2,f_3,f_4 ) \).
Per semplicità chiamiamo i vettori dello span nel nostro esempio \( v_1= (1,1,2,1), v_2=(2,2,4,2), v_3=(2,0,-1,1),v_4=(7,1,-1,4),v_5=(0,2,5,1) \).
E sia \(\phi \) tale che \( \phi(e_i)=v_i, \forall 1\leq i \leq 5 \)
Allora la matrice di \( \phi \) in rapporto a \( B_V \) e \( B_W \) è data da
\( (\phi)_{B_V}^{B_W} = \begin{pmatrix}
1 &2 &2 &7 &0\\
1 &2 &0 &1 &2\\
2 &4 &-1 &-1 &5\\
1& 2 &1 &4 & 1
\end{pmatrix} \)

Forse mi sbaglio, ma abbiamo che \( \operatorname{Im}(\phi) \) è dato dalle combinazioni lineari dei vettori colonna della matrice \( (\phi)_{B_V}^{B_W} \). Dunque \( \operatorname{Im}(\phi) = \operatorname{Span}(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5)\) per cui trovare una base dello span è equivalente a trovare una base delle immagini dell'applicazione lineare definita come sopra.
Siccome \( \operatorname{Im}(\phi) \) è dato dalle combinazioni lineare dei vettori colonna della matrice possiamo trasporre la matrice e ridurla a scalini per linee per trovare una base, in quanto mandiamo a zero tutti i vettori colonna che sono combinazione lineare degli altri.

\(\begin{pmatrix}
1 &1 &2 &1 \\
2 &2 &4 &2 \\
2 &0 &-1 &1 \\
7& 1 &-1 &4 \\
0& 2 &5 &1
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
1 &1 &2 &1 \\
0 &0 &0 &0 \\
0 &-2 &-5 &-1 \\
0& -6 &-15 &-3 \\
0& 2 &5 &1
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
1 &1 &2 &1 \\
0& 2 &5 &1 \\
0 &-2 &-5 &-1 \\
0& -6 &-15 &-3 \\
0 &0 &0 &0
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
1 &1 &2 &1 \\
0& 1 &5/2 &1/2 \\
0 &-2 &-5 &-1 \\
0& -6 &-15 &-3 \\
0 &0 &0 &0
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
1 &0 &-1/2 &1/2 \\
0& 1 &5/2 &1/2 \\
0 &0 &0 &0 \\
0& 0 &0&0 \\
0 &0 &0 &0
\end{pmatrix} \)

Abbiamo così una base di \( \operatorname{Im}(\phi) \) data da \( B_{\operatorname{Im}(\phi)} = ((1 ,0 ,-1/2 ,1/2),( 0, 1 ,5/2 ,1/2) ) \)
Allo stesso modo possiamo ridurre a scalini la matrice \( (\phi)_{B_V}^{B_W} \) senza trasporla e trovare così una matrice linea equivalente della stessa applicazione lineare.
\(\begin{pmatrix}
1 &2 &2 &7 &0\\
0 &0 &1 &3 &-1\\
0 &0 &0 &0 &0\\
0& 0 &0 &0 & 0
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
1 &2 &0 &1 &2\\
0 &0 &1 &3 &-1\\
0 &0 &0 &0 &0\\
0& 0 &0 &0 & 0
\end{pmatrix} \)

Quello che abbiamo fatto è cambiare base a \( W \) ovvero abbiamo trovato una base \( B'_W= ( w_1, w_2, w_3,w_4) \) che ci da la seguente matrice
\( (\phi)_{B_V}^{B'_W} = \begin{pmatrix}
1 &2 &0 &1 &2\\
0 &0 &1 &3 &-1\\
0 &0 &0 &0 &0\\
0& 0 &0 &0 & 0
\end{pmatrix} \)
Ovvero abbiamo trovato una base \( B'_{W} \) tale che \( \phi(e_i)= \) i-esima colonna di \((\phi)_{B_V}^{B'_W}) \)
Questa nuova matrice ci da le relazioni di dipendenza lineare tra le colonne infatti notiamo che \( \phi(e_2)= 2\phi(e_1) \) e \( \phi(e_4)=\phi(e_1) + 3 \phi(e_3) \) e che \( \phi(e_5) = 2 \phi(e_1) - \phi(e_3) \) e chiaramente \( \phi(e_1) \) e \(\phi(e_3) \) sono linearmente indipendenti in quanto hanno i pivot.
Dunque visto che è una matrice linea equivalente abbiamo le stesse relazioni con la base \( B_{W} \) dunque \( \phi(e_2) = 2 \phi(e_1) \) anche per rapporto alla base \(B_W\) etc... dunque siccome \( \operatorname{Im}(\phi) \) è dato dalla combinazione lineare dei vettori colonna \( (\phi(e_1),\phi(e_2),\phi(e_3),\phi(e_4),\phi(e_5) ) \) allora è anche combinazione lineare di \( (\phi(e_1),\phi(e_3))\).
Mentre come faccio io lavorando sulle colonne (oppure se vuoi sulle linea della trasposta) cambio base a \( V \) trovando una base \( B'_V = (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5) \) tale che \( \phi(a_1) = (1 ,0 ,-1/2 ,1/2)_{B_W} \) e \( \phi(a_2) = ( 0, 1 ,5/2 ,1/2)_{B_W} \) e che mi da una base di \( \operatorname{Im}(\phi) \)

Cioe in pratica il modo in cui io riduco la matrice mi da direttamente la base, prendo i vettori non nulli e ho una base, mentre invece il modo in cui fai te non ti da una base, ma ti da le relazioni di dipendenza dei vettori colonna di partenza e dunque prendi come base i vettori colonna linearmente indipendenti (ergo quelli con i pivot nella matrice ridotta). Sbaglio?