Due ultimi esercizi sulle serie

[harperf]

Non avendo soluzioni per gli esercizi cerco aiuto per queste due seguenti serie che ho lasciato durante lo studio odierno:

$\sum_(n>=1) \root[n]n-1$

Ho verificato essere a termini postivi e il fatto che soddisfi il criterio di necesarietàper la convergenza.
Dopo molti tentativi ho così svolto, ma nutro forti dubbi:

Ho provato a minorare

$2<n$

e questo dovrebbe essere vero dopo il valore 2, inoltre il carattere della serie non dovrebbe variare escludento un numero di termini finiti e lasciando la "coda".

Detto ciò ho pensato che $2^(1/n)<n^(1/n)$ e si preserva la disuguaglianza nel verso della precedente, prendendo $b_n=\root[n]2$ la serie con tale termine generale non converge poiché il limite di bn risulta uno. E dato che diverge una minorante per confronto diverge la serie iniziale


------------------------------

La seconda è:

$\sum_(n>=0) sin(n\pi+pi/(n+1))$

Ho sviluppato l'argomento, ottenendo

[ERRORE SI VEDANO POST SEGUENTI]

e noto avere periodicità alternata per ogni n che ci sostituisco, forse dovrei dimostrarlo induttivamente dato che l'ho solo provato per n limitati.

A questo punto riscrivo l'iniziale come

$\sum_(n>=0) (-1)^n sin(1/(n+1))$

Si tratta quindi di studiare una leibniz essendo infinitesima la $a_n$

La derivata è lunga ma dovrei ridurmi a studiare il segno di $-cos(1/(n+1))>0$

poiché gli altri termini della derivata sono tutti positivi.

Il fatto che poi giungo a cose sbagliate (non sto a riportarvi tutto, era solo per farvi capire come ho svolto)

Lo so, sono una frana ma vi ringrazio per aiutarmi sempre.

[otta96]

Detto ciò ho pensato che $2^(1/n)<n^(1/n)$ e si preserva la disuguaglianza nel verso della precedente, prendendo $b_n=\root[n]2$ la serie con tale termine generale non converge poiché il limite di bn risulta uno. E dato che diverge una minorante per confronto diverge la serie iniziale

Ti sei dimenticat* il $-1$?
Piuttosto scrivi il termine generico come $e^(lnn/n)-1$ e sviluppa con Taylor, dovrebbe riuscirti a questo punto.

$\sum_(n>=0) (-1)^n sin(1/(n+1))$

Non so che conti hai fatto ma ci vuole un $pi$ a numeratore.

Si tratta quindi di studiare una leibniz essendo infinitesima la $a_n$

La derivata è lunga ma dovrei ridurmi a studiare il segno di $-cos(1/(n+1))>0$

Sai che ${1/n}$ è decrescente, quindi ti basta sapere che il $\sin$ è crescente in $[0,1/2]$, che è una cosa abbastanza nota e se le vuoi proprio fare la derivata del $\sin$ non è poi così lunga...

[harperf]

Buondì otta ,

- per la prima perfetto.

- Per la seconda ero andato a memoria sullo svolgimento convinto di ricordarmelo senza riverificare e invece -come facevi giustamente notare- avrei qualcosa di diverso:

$\sum_(n>=0) sin((pi(n^2+n+1))/(n+1))$ che posso riscrivere come $\sum_(n>=0) sin((npi)/(n+1))$

La prima domanda che vorrei porti/vi è: come potrei mostrare che $pi(n^2+n+1)=npi$ ho provato ma non sono riuscito a farlo in modo formale.

Proseguendo mi pareva che dato quel $npi$ a numeratore posso allora scriverla come

$\sum_(n>=0) (-1)^n sin(1/(n+1))$

cioè una Leibniz essendo
] il limite con n a infinito una infinitesima
] sempre decrescente poiché se ho $sinx=f(x)$ crescente e $g(x)=1/(n+1)$ decrescente => $f(g(x))$ è decrescente.

Quindi converge per il criterio di Leibniz.

Che dici?

[otta96]

Quella semplificazione la puoi fare per la periodicità del seno e per la sua simmetria, ma continui a perderti un $pi$. Comunque si, la serie converge per Leibnitz.

[harperf]

Quella semplificazione la puoi fare per la periodicità del seno e per la sua simmetria

Però non dovrei dimostrare rigorosamente che $pi(n^2+n+1)=npi$, chi mi dice che per un n molto grande non sia rispettata. Cioè lo so perché è una funzione nota. Però forse sarebbe meglio farlo vedere in maniera certa dimostrandolo.

ma continui a perderti un π

Eh si hai ragione, perché stupiamente dicevo $|sin(npi)|=|1|$ cioè varia sempre tra più e meno uno quinfi a numeratore mettevo 1, ma è un erroraccio perché starei spezzando l'argomento della funzione.

In realtà a questo punto non mi pare più nemmeno una leibniz perché non èa segno alternato infatti quel che accadrebbe sarebbe:

$sin0,sin(pi/3),sin(2pi/4),sin(3pi/6),sin(4pi/7)...$ un po' un pasticcio

[Ziben]

Ciao,
$π(n^2+n+1)=nπ$ non è mai verificata perché si ha:
$n^2+n+1=n$
$n^2+1=0$

Però (dato che mi pare non hai recepito la risposta di otta96 che fa riferimento alla periodicità della funzione seno e nemmeno quella che ti dice che ti stai perdendo un $pi$):

$sin(nπ+π/(n+1)) = sin(\pin)cos(π/(n+1)) + cos(πn)sin(π/(n+1))$
poiché $sin(\pin)=0$ e $cos(πn)=(-1)^n$
ottieni
$(-1)^nsin(π/(n+1))$

la serie è a segni alterni

[harperf]

Grazie mille per la spiegazione dettagliata.
Chiedo scusa ad otta ma non avevo proprio capito.

Vi ringrazio.

[otta96]

Avevo pensato anche io di fare una spiegazione più dettagliata, ma prima che ne abbia avuto il tempo lo ha fatto (egregiamente!) Ziben, che ringrazio di aver chiarito la questione.