Forza di risucchio dielettrico in condensatore cilindrico

[Desirio]

Un condensatore cilindrico ha lunghezza l, e i raggi delle armature sono R1 e R2. (A) Calcolare la capacità del condensatore. Il condensatore è parzialmente riempito, per un tratto x, da un guscio cilindrico di materiale dielettrico di costante dielettrica relativa er. Il guscio ha raggio interno ed esterno R1 e R2, quindi riempie totalmente lo spazio fra le armature del condensatore. Le armature del condensatore sono caricate con cariche +Q e – Q. (B) Determinare la forza con cui il dielettrico è risucchiato nel condensatore. Valori numerici: R1=3 cm, R2=5 cm; l=50 cm, x=20 cm, Q=10 μC, er=3.


Posso vedere il condensatore come due condensatori in parallelo: C1 di lunghezza x riempito con il dielettrico e C2 di lunghezza l-x riempito di vuoto.

1) Siano R1 e R2 i raggi interno ed esterno e l' altezza L, in generale la capacità di un condensatore cilindrico è data da:

$C = (2pie0L) / (ln((R2)/(R1)))$

Quindi

$C1 = (2pi(l-x)e0)/(ln((R2)/(R1)))$
$C2 = (2pi e0 er x ) / (ln((R2)/(R1)))$

La capacità totale iniziale , essendo data dal parallelo è pari a:

$C = C1 + C2 = 1/(ln((R2)/(R1))) * (2pie0) * ((l-x) + er x)$

La lastra viene risucchiata e alla fine la capacità sarà data da

$Cf = (2pi l e0 er)/(ln((R2)/(R1)))$

$ ΔC = Cf - Ci $

E in particolare la variazione di capacità dipenderà da x;
D' altra parte la carica Q si conserva, quindi $ Q = ΔC ΔV $;

La variazione di energia è pari a

$ ΔU = 1/2 * (Q^2)/(ΔC) $ che dipenderà anch' essa da x.

Essendo la forza F la derivata di U rispetto allo spazio cambiata di segno, si ottiene così la forza di risucchio...

Giusto così come procedimento? (So che lo fa con gli infinitesimi sui libri, ma a me torna meglio con le variazioni...)


In generale però non ho capito quando la lastra del dielettrico viene risucchiata oppure "sputata fuori"... In partciolare nell' esercizio sopra ho calcolato la variazione di C supponendo, come mi diceva l' esercizio, che la lastra viene risucchiata... ma non sempre è così..

Quando la tensione V è costante sul condensatore ... il ragionamento come sopra a grandi linee potrebbe andare bene?

[Quinzio]

Va bene , ma alla fine quant'e' questa forza ? $F = ? $

Non ho capito bene il discorso che preferisci le variazioni agli infinitesimi, secondo me ti porta a degli errori.

[Desirio]

La fora $F = - dU/dx $ , cioè l' energia si conserva...
Però non campisco una cosa, perchè mi viene una forza negativa? Cioè facendo i conti mi viene che per uno spostamento dx positivo, la forza F è -0,7 N

[RenzoDF]

... Però non campisco una cosa, perchè mi viene una forza negativa? Cioè facendo i conti mi viene che per uno spostamento dx positivo, la forza F è -0,7 N

La forza non può essere costante, di certo sarà funzione di x e non vedo come possa risultarti negativa.

Chiaramente dovrai partire dalla $U(x)=Q^2/(2C(x))$, con $C(x)=C_1+C_2$, la capacità equivalente da te calcolata, somma delle due capacità parziali, ma naturalmente senza usare quella tua $\Delta C$.

[Desirio]

... Però non campisco una cosa, perchè mi viene una forza negativa? Cioè facendo i conti mi viene che per uno spostamento dx positivo, la forza F è -0,7 N

La forza non può essere costante, di certo sarà funzione di x e non vedo come possa risultarti negativa.

Chiaramente dovrai partire dalla $U(x)=Q^2/(2C(x))$, con $C(x)=C_1+C_2$, la capacità equivalente da te calcolata, somma delle due capacità parziali, ma naturalmente senza usare quella tua $\Delta C$.

$U(x)$ la posso calcolare come dici tu, poi la derivo rispetto a x, e mi torna una funzione di x.... Cambiando di segno trovo la forza richiesta... Giusto fin qui?

Il punto è che l a forza si, dipende da x .... Però andando poi a metterci tutti i dati del problema, mi torna costante... Beh effettivamente forse non può esserlo, e la x che mi da il problema non devo sostituirla nella $-(dU)/dx$ ??

[Desirio]

No, c'è qualcosa che mi sfugge...

[Desirio]

Scusami Renzo, il mio errore è stato quello di sostituire al posto di x il valore dato nel testo del problema, ma invece è una variabile... E quell' x dato dal problema mi serve solo per calcolare la capacità iniziale, quindi lasciando x, la forza F mi torna positiva con il crescere delle x.... Cioè per spostamenti dx positivi, F è positiva... E quindi si va verso la situazione di un minimo energetico... Dunque da questo si può vedere anche che è vero che la lastra viene risucchiata, giusto così ?

[RenzoDF]

Se la forza risulta positiva (ovviamente per $x<l$), chiaramente il guscio viene risucchiato.