Dati due spazi di Banach $X,Y$ si possono definire come sapete le funzioni lineari continue $L(X,Y)$, e lineari compatte $K(X,Y)$. Se $X=Y$ scrivo $(X)$ invece che $(X,Y)$.
Si dimostra che la composizione di un elemento di $L(X)$ e uno di $K(X)$ sta in $K(X)$ indipendentemente dall'ordine di composizione, questo si dice in questo modo "$K(X)$ è un ideale bilatero dell'algebra $(L(X),+,\circ)$".
Le mie domande sono queste: si sa qualcosa del quoziente? Cioè $(L(X))/(K(X))$ è un oggetto studiato? Direi che dato che $K(X)$ è chiuso (ovviamente rispetto alla norma operatoriale) per lo meno il quoziente è $T_2$, inoltre è connesso, anche per archi, ma cos'altro si può dire?
Poi è stato considerato il problema di determinare (magari esplicitamente) un ideale massimale di $L(X)$ che contiene $K(X)$?
Poi un'ultima cosa: per quanto detto $K(X)\circK(X)\subseteq K(X)$ (spero si capisca cosa intendo), ma vale l'inclusione stretta o l'uguaglianza? Io penserei la prima e sono portato a pensare che le cose che stanno in $K(X)\circK(X)$ hanno proprietà anche più forti degli operatori compatti, ma non ho idea di quali possano essere, voi che dite?
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà partecipare a questa discussione.