Velocità di un fluido in un tubo, dubbio teorico

[AndrewX]

Salve!
Ho il seguente dubbio: dal paradosso di Venturi so che se la sezione di un tubo diminuisce, allora la sua velocità aumenta e la pressione diminuisce.

1) questo accade perché, anche se non mi viene detto, ho un fluido subsonico vero? Altrimenti avrei bisogno di un ugello divergente per aumentare la velocità, giusto?

2) se sono in regime stazionario, significa che la velocità in un punto non varia nel tempo. Ma nello spazio (del tubo) posso avere aumenti di velocità, vero? Basti vedere il caso di Venturi,.. possiamo anche essere in caso stazionario, no?

Grazie!

[Nikikinki]

Che io sappia l'equazione di Bernouilli, dalla quale si ricava l'effetto Venturi, ha come uniche ipotesi l'incomprimibilità del liquido ed un regime stazionario. Non saprei dirti se salta in regime supersonico, ma mi verrebbe da dire di no. Magari prova nella sezione di ingegneria, sono cose alle volte anche tecniche. Per quanto riguarda il regime stazionario, in realtà non significa per forza che è costante nel tempo ma solo che non cambia nel tempo. Ad esempio un fenomeno rappresentato da una funzione periodica, su un tempo multiplo del periodo, è stazionario. Ne nacque una discussione una volta con alcuni mi amici se effettivamente fosse pertinente o meno questa cosa, visto che potremmo formalizzare il concetto di stazionarietà come una derivata parziale nel tempo nulla. Giungemmo alla conclusione che è solo una questione di convenzione, poiché in alcuni ambiti fa molto comodo considerare stazionario anche qualcosa che cambia nel tempo, ma sempre allo stesso modo. Ma restringendoci al campo in esame, sì puoi dire che stazionario significa costante nel tempo.

[Shackle]

Il moto permanente , o stazionario, è caratterizzato da grandezze cinematiche (e non solo) che non dipendono dal tempo. In un certo punto del flusso, le tre componenti della velocità $u,v,w$ sono funzioni solo delle coordinate, ad es. quelle cartesiane $x,y,z$ , ma non del tempo. In altri termini, seguendo il punto di vista euleriano, osserviamo un certo punto P prefissato: le particelle fluide che passano per P hanno la stessa velocità in P; ma non è detto che una data particella non possa avere una differente velocità prima o dopo della posizione P . Questo differisce dal "moto uniforme" . Nel moto uniforme, le caratteristiche del moto si mantengono identiche nei successivi punti di ogni traiettoria, pur potendo essere differenti da una traiettoria all'altra.

Il teorema di Bernouilli non è altro che un integrale del moto dell'equazione di Eulero, che si riferisce al moto di fluidi perfetti. Esso stabilisce che , in un fluido perfetto ( quindi, viscosità nulla) , pesante ( cioè soggetto a forze di massa gravitazionali ) , incomprimibile ( densità costante) , in moto permanente , per un dato filetto fluido il trinomio di Bernoulli è costante. Il carico totale è dato da :

$H = z + p/\gamma + v^2/(2g) $

e dall'equazione indefinita del moto (Eulero) si ricava che :

$ (delH)/(dels) = -1/g*(delv)/(delt)$

ma se il moto è permanente la derivata parziale di $v$ rispetto al tempo è nulla , da cui la costanza del trinomio.
Il teorema si può estendere in vari modi, con certi accorgimenti, anche al caso di fluidi comprimibili, o ad intere sezioni di tubi di flusso , e siccome non è altro che un bilancio energetico può servire egregiamente , ad esempio, quando nel flusso c'è un macchina motrice o operatrice : ma ci vuole oculatezza, ed ipotesi ad hoc .

PEr quanto riguarda il tubo Venturi, limitati a considerare la sua applicazione al caso di un fluido incomprimibile o poco comprimibili, lascia stare fluidi molto comprimibili , ugelli e diffusori, perché le cose sono più complicate.

http://ishtar.df.unibo.it/mflu/html/venturi.html

[cosimo1995]

L'equazione di Bernoulli vale solo per fluidi incomprimibili, un fluido incomprimibile è sicuramente subsonico in quanto ha velocità del suono infinita, e in generale si, è corretto dire che in flussi supersonici il discorso si inverte, ma in tal caso non vale più la legge di Bernoulli perchè sicuramente il fluido non è incomprimibile.

[Shackle]

Non è vero che la velocità del suono nei liquidi è infinita. Ad esempio, nell’ acqua vale circa 1400 m/s , ma dipende dalla temperatura. Anche nei solidi, molto più densi e rigidi di un gas , la velocità di propagazione delle onde sonore è finita, non esistono velocità infinite.

Qui si parla della velocità del suono in vari mezzi.

[mgrau]

Esiste una qualche ragione, comprensibile senza una full immersion nelle equazioni differenziali, per cui in regime supersonico le cose si invertono rispetto al regime subsonico?

[dRic]

Esiste una qualche ragione, comprensibile senza una full immersion nelle equazioni differenziali, per cui in regime supersonico le cose si invertono rispetto al regime subsonico?

Provo a rispondere, se dico castronerie qualcuno mi corregga. Questa è l'idea che mi sono sempre fatto. Purtroppo è una spiegazione qualitativa e per ricavare delle formule non penso si possa fare a meno di un paio di eq. (differenziali, anche se, da quello che ricordo, non sono molto complicate).

Secondo me il comportamento dei fluidi supersonici è più intuitivo e "naturale" di quelli incomprimibili (subsonici) perché abbiamo un analogia ferrante con la vita di tutti giorni: il traffico.

Immaginiamo un fluido in un cilindro spinto da un pistone.

In un fluido supersonico la velocità delle "perturbazioni" (il suono) è minore della velocità del pistone (quindi del fluido) e come risultato ho che le molecole del fluido si addensano sempre di più sul pistone costituendo un fronte unito che si muove con la velocità del pistone (maggiore del suono). Se le molecole continuano ad addensarsi sul pistone a livello macroscopico osservo una compressione del fluido. Ora immaginiamo di restringere la sezione di passaggio: il fluido farà sempre più fatica a passare perché le molecole si danno fastidio a vicenda. Quando invece la sezione si allarga lo scorrimento è facilitato.

E' esattamente ciò che succede nel traffico in autostrada: quando viene aumentato il numero di corsia tutto fila liscio, ma quando le diminuisci...
Questo perché il traffico, secondo me, può essere definito una sorta di fluido supersonico in quanto la velocità delle "propagazioni" dipende dai riflessi del guidatore, dal suo tempo di reazione e dalla capacità della macchina di cambiare rapidamente velocità e l'insieme di tutti questa fattori restituiscono una "velocità del suono nel traffico" molto bassa. (Si pensi al classico esempio del semaforo: se il traffico fosse "subsonico" allo scattare del verde tutte le macchine in fila dovrebbero partire all'unisono perché hanno ricevuto il "segnale" molto rapidamente, in realtà parte la prima, poi la seconda, poi la terza...)

[mgrau]

Grazie @dRic, ho trovato molto interessante il tuo modello. Non ci avevo mai pensato. E sì che mi ha sempre intrigato molto la dinamica del traffico...

[dRic]

@mgrau scusami, avevo scritto una cappellata. Svista stupida, ho corretto.

In un fluido supersonico la velocità delle "perturbazioni" (il suono) è minore della velocità del pistone (quindi del fluido) e come risultato ho che le molecole del fluido si addensano sempre di più sul pistone costituendo un fronte unito che si muove con la velocità del pistone (maggiore del suono)

Avevo scritto "maggiore" al posto di "minore" nel primo commento, ma era una palese svista.

[Shackle]

Una applicazione tecnica interessante dei concetti accennati si ha nel
"Ugello de Laval" , che è sostanzialmente un condotto convergente-divergente , il quale scarica dei gas a velocità supersonica. Supponiamo di avere un flusso di gas subsonico, a velocità prossima a quella del suono . Nel tratto convergente, come tutti i flussi subsonici, il gas accelera perché deve essere assicurata la costanza della portata . Ma l'ugello è fatto in modo che nella sezione contratta la velocità del gas diventi uguale a quella del suono; dopo la sezione detta il tubo si allarga : un flusso subsonico rallenterebbe. Non cosí il flusso del gas , che diventa supersonico , quindi aumenta di velocità, proprio come descritto da dRic nel suo esempio del traffico stradale. In pratica, l'aumento di velocità del gas si trasforma in aumento di spinta propulsiva.
Nel'articolo di Wikipedia c'è anche qualche formula, giusto per capire. Non mancano le trattazioni teoriche complete , come in qualcuno dei collegamenti esterni ivi riportati, tra i quali segnalo questo .