Compagnia assicurativa

[MrEngineer]

Ciao ragazzi, sono una vecchia conoscenza. Sicuramente Tommik e tutti coloro che mi hanno aiutato per qualche giorno si ricorderanno di me. Ho riposto teoria dei segnali per affrontare lo studio di un'altra materia in questi mesi, ed ora eccomi di nuovo alle prese con la suddetta materia. Iniziamo da un quesito d'esame sulla teoria delle probabilità. Il testo è il seguente:

"Una compagnia di assicurazioni auto prevede per i guidatori giovani una polizza più alta, in quanto questo gruppo tende ad avere un numero maggiore di incidenti. La compagnia distingue le età in 3 gruppi:
A (sotto i 25 anni, 22% di tutti i suoi assicurati),
B (25-39 anni, 43%),
C (da 40 anni in su).
I dati mostrano che in media ogni anno le percentuali di assicurati che hanno un incidente sono:
11% per il gruppo A, 3% per il B, 2% per il C.

1) Calcolare la probabilità che in un dato anno un assicurato scelto casualmente abbia tra 25 e 39 anni e abbia almeno un incidente;
2) Calcolare la probabilità che l'assicurato abbia dai 40 anni in su e non abbia alcun incidente;
3) Che percentuale di assicurati ci si attende abbia un incidente nei prossimi 12 mesi?
4) Se un assicurato X ha appena avuto un incidente, che probabilità c’è che abbia meno di 25 anni?
5) Considerato un assicurato della categoria B, calcolare la probabilità che incorra in almeno un incidente in 36 mesi."

Risoluzione
Indichiamo i seguenti eventi:
$A = {"eta sotto i 25 anni"}$
$B = {"eta tra 25-39 anni"}$
$C = {"eta sopra i 40 anni"}$
$I = {"assicurato ha avuto un incidente"}. $

In base al testo valgono inoltre le seguenti proprietà:

$P(A) = 0.22$
$P(B) = 0.43$
$P(C) = 0.35$

e le seguenti proprietà condizionate:
$P(I|A) = 0.11$
$P(I|B) = 0.03$
$P(I|C) = 0.02$

I punti 3) e 4) sono di facile risoluzione. Veniamo ai punti in cui ho qualche dubbio. Per il punto 1), è sbagliato supporre che i due eventi siano statisticamente indipendenti? Il fatto che l'assicurato abbia un incidente non dipende affatto dall'età. Inoltre, in base al testo, si ricerca la probabilità congiunta $P(A \cap I)$. Se i due eventi sono statisticamente indipendenti, è possibile supporre che $P(A \cap I) = P(A)P(I)$ ?
Non conosco però la probabilità $P(I)$, che potrebbe essere calcolata sfruttando il teorema della probabilità totale.
Per il punto 2), valgono le considerazioni di cui sopra. Ovviamente, bisogna considerare l'evento $1- P(I)$ relativo al fatto che non si sia commesso un incidente.

Mi sembrano congetture campate in aria. E' realmente così o bisogna ricorrere per tutti i punti a Bayes / Totale?

[MrEngineer]

Per il punto 1), è sbagliato supporre che i due eventi siano statisticamente indipendenti?

Sì. Usa il fatto che $\mathbb{P}(I|B)=(\mathbb{P}(I, B))/(\mathbb{P}(B))$ per ricavare quello che ti chiede, cioè $\mathbb{P}(I, B)$.

Cavolo è vero, non avevo pensato alla definizione di probabilità condizionata!

[MrEngineer]

Non vorrei essere pedante ma non ci sono probabilità congiunte qui dentro solo una probabilità condizionata e una di una intersezione (che vabbé puoi chiamare congiunta se definisci variabili aleatorie che in questo caso non servono)... quindi è un po' improprio

Ho corretto il post precedente. Volevo dire condizionata ciò che invece ho indicato con congiunta. Perdonami, è l'ora
Quindi allo stesso modo se definiamo la probabilità $P( \overline{I}|C) = 0.98$ e l'evento $P(\overline(I)) =1 - P(I) = 0.956$, posso calcolare il punto 2 come fatto sopra sfruttando la definizione di probabilità condizionata?

[tommik]

Ciao Mr Engineer....mi permetto anche di suggerire, in questi casi, di tradurre il testo in tabella....allo scopo ho considerato una popolazione di 10.000 individui (numero scelto ad hoc in modo da non avere decimali, ovvero pezzi di individui)

Dalla tabella sottostante le richieste dell'esercizio 1,2,3,4 sono immediate.




mancherebbe la richiesta N.5....io qualche idea ce l'ho....voi?

[MrEngineer]

Non posso quindi dire che
$\mathbb{P}(\overline(I)|C)=(\mathbb{P}(\overline(I), C))/(\mathbb{P}(C))$ e calcolare quindi $\mathbb{P}(\overline(I)|C)$ come $\mathbb{P}(\overline(I)|C) \mathbbP(C)$?

Più o meno no: hai bisogno $\mathbb{P}(C)$, non $\mathbb{P}(\barI)$

In effetti per quanto ho scritto sopra non ho bisogno di $\mathbb{P}(\barI)$. Perdonatemi, stasera sono proprio fuso.
@Tommik: ciao Tommik. Per il punto 5 non l'ho ancora visto, ho risolto il 1 come suggerito da arnett, il 3 e il 4 e credo il 2. Per il 5 domani guardo con più calma e ti faccio sapere. Per quest'oggi ho già dato abbastanza ( e si è visto ).

[tommik]

La cosa difficile è che una frazione di quelli che stanno in categoria B passerà in categoria C... Ma tale frazione non è nota

ah beh no.....questo è da escludere, altrimenti non si risolve più....

io farei così: considererei la categoria B come una variabile Poisson di media 0.03. Per l'additività della suddetta variabile, in 3 periodi avremo una variabile $Po(0.09)$ e quindi la probabilità di avere almeno un incidente nel periodo viene

$1-P(0)=1-e^(-0.09)=8.6%$

[tommik]

Ho una capacità innegabile di complicarmi la vita...

confermo. Seguendo il tuo ragionamento basterebbe fare $1-0.97^3$

ma non mi piace tanto, soprattutto perché si dice che la probabilità di fare un incidente è "mediamente" del 3%....quindi mi pare più confacente la soluzione che ho proposto io....anche se il risultato non cambia di molto

mah....sarebbe interessante sentire altre opinioni

[mobley]

Ciao, ci provo.

Definiamo:
$A={assicurati <25}=0,22$
$B={assicurati tra 25 e 39}=0,43$
$C={assicurati>40}=0,35$.
Definiamo poi $H={avere un i nci dente } rArr (H|A)=0,11, (H|B)=0,03$ e $(H|C)=0,02$.

1) La probabilità che in un anno un assicurato $\in B$ e abbia un incidente è $ P(B\cap H)=P(B)P(H|B)=0,43xx0,03=0,0129 $ , che potresti anche calcolare risolvendo con il teorema delle partizioni il punto 3 e trovando la probabilità che l'assicurato $in B$ supposto che faccia un incidente. Infatti $ P(H)=P(A)P(H|A)+P(B)P(H|B)+P(C)P(H|C)=0,0441 $ e $ P(B|H)=(P(B)P(H|B))/(P(H))=0,2925 $ e quindi $ P(B\capH)=P(H)P(B|H)=0,0129 $ .
2) La probabilità che l'assicurato $in C$ e non abbia incidenti è $ P(C\cap bar(H) )=P(C)P(bar(H)|C) $ dove $ P(bar(H)|C) =1-P(H|C) $ quindi $P(C\cap bar(H) )=0,343$.
3) Risolto al punto 1).
4) La probabilità che $in A$ se ha avuto un incidente è $ P(A|H)=(P(A)P(H|A))/(P(H))=0,549 $

Per il punto 5) ho difficoltà, provo a studiarmi quello che ha suggerito tommik!

[MrEngineer]

Buongiorno a voi ragazzi!
@Mobley, confermo i tuoi risultati.
@Tommik & @arnett: per il punto 5) non so che pesci pigliare. Le vostre soluzioni sono interessanti ma son sincero, ho qualche dubbio. Non ho ancora ripassato le v.a. pertanto non ricordo la variabile di Poisson.
Per la spiegazione data da arnett, invece, vediamo se ho fissato bene le idee.
La probabilità che, preso un assicurato della categoria B, questi abbia un incidente in un anno è pari al $3%$. Dunque il suo complementare vale $P(\overline(I)|B) = 97%$. Se eleviamo al cubo questo complementare, otteniamo la probabilità di non avere un incidente in tre anni? E, di conseguenza, se facessimo il complementare di quest'ultimo risultato, ovvero $1-0.97^3$ otterremmo la probabilità di avere un incidente in tre anni?
Sono sincero, non ci sarei arrivato. Almeno non adesso, ho ripreso in mano la teoria solo ieri. Aspetto conferme sul ragionamento e vi ringrazio intanto

[tommik]

E, di conseguenza, se facessimo il complementare di quest'ultimo risultato, ovvero $1-0.97^3$ otterremmo la probabilità di avere un incidente in tre anni?

non "un incidente", ma "almeno un incidente", ovvero il complementare di "nessun incidente"