Avrei un dubbio sul limite

[maion]

Ciao ,

avrei un dubbio su questo limite

$lim_(h->0) ((sin(h)/h)-1)/h$

vi spiego i miei dubbi:

- essendoci un limite notevole posso sostituire e ottenere $lim_(h->0) ((1)-1)/h=0/h=0$
- oppure devo vederlo come algebra estesa dei limiti e quindi avrei qualcosa che tende a 1-1 che tende a 0 a numeratore, e a denominatore avrei qualcosa che tende a 0 (infatti è h->0). Nel compresso 0/0 indeterminata.

Quale interpretazione è giusta e perché, vorrei capirlo più a fondo

[Summerwind78]

Ciao

non so se il mio sia il metodo migliore ma io non avrei scomodato i limiti notevoli

tu puoi riscrivere la tua funzione come


$( (sin(h))/(h) - 1 )/(h) = (sin(h)-h)/(h^2)$

quindi

$lim_(h->0) ( (sin(h))/(h) - 1 )/(h) = lim_(h->0)(sin(h)-h)/(h^2)$

che ti darebbe una forma indeterminata del tipo $0/0$

ma se applichi de l'Hopital due volte ottieni
$lim_(h->0)(sin(h)-h)/(h^2) = lim_(h->0) (-sin(h)/2) = 0$

[maion]

Ti ringrazio per la risposta.

Tuttavia poiché sto cercando di capire i limiti notevoli piuttosto che giungere al risultato in sé, mi piacerebbe capire sfruttando appunto i notevoli i due ragionamenti che proponevo.

Grazie a te e tutti

[dissonance]

Il limite notevole non è sufficiente a concludere, in questo caso. A riprova di ciò, Summerwind ha dovuto usare de l'Hôpital due volte. Ancora meglio sarebbe usare lo sviluppo di Taylor del seno, arrestandosi ad un ordine superiore al primo.

[maion]

Ciao @dissonance, in sostanza

- essendoci un limite notevole posso sostituire e ottenere $lim_(h->0) ((1)-1)/h=0/h=0$

non sarebbe giusta come interpretazione (sarebbe giusta la seconda che avevo dato di forma indeterminata [0/0]) e quindi uso Taylor.

Sarebbe questo il motivo, giusto ?

Grazie ancora per aiutarmi a comprendere questi limiti.

[dissonance]

Eh si, non è giusto. Non puoi risolvere il limite un pezzo alla volta, c'è una forma indeterminata 0/0.

[anto_zoolander]

giusto per informazione: quel limite è la derivata in $0$ della funzione $f(x):={((sinx)/x if xne0),(1 if x=0) :}$

[maion]

giusto per informazione: quel limite è la derivata in $0$ della funzione $f(x):={((sinx)/x if xne0),(1 if x=0) :}$

Sì volevo vedere cosa ne usciva prolungando in x=0-

[anto_zoolander]

beccato