euqzione di Bessel

[dRic]

Ciao, stavo facendo un esercizio che dice

Mostrare che l'equazione di Bessel $$xR'' + R' + \left( \lambda x - \frac {n^2} x \right) R = 0$$ per $x \in (0, 1)$ è un problema di Sturm-Liouville singolare, per il quale gli autovalori sono positivi [...]

Una domanda magari scema: in questo caso devo chiedere che la soluzione si annulli per $x=1$ altrimenti non posso concludere che gli autovalori sono positivi o dico una fesseria? Perché a me sembra che questo non sia come il caso, per esempio, di Legendre o Laguerre dove non importa imporre condizioni agli estremi per dedurre la non negatività degli autovalori, o sbaglio?

[dissonance]

La risposta è sicuramente scritta nella definizione di "problema di Sturm-Liouville singolare". Quali sono le condizioni al bordo?

[dRic]

Nel problema di Sturm-Liouville regolare in un intervallo $(a, b)$ si mettono le condizioni al bordo $u(a) = u(b) = 0$ (scusa il cambio di nome della funzione). Ma in quelli singolari non è sempre necessario (es. equazione dei Laguerre o di Legendre o Hermite). In quesi casi la dimostrazione procede scorrevole anche senza la suddetta ipotesi al bordo.

Nel libro che sto leggendo non mette particolari condizioni al contorno per i problemi singolari quindi non so rispondere alla tua domanda. L'unica cosa che posso dedurre è che, visto che nella dimostrazione deve annullarsi un certo integrale, nelle condizioni al bordo devo tenere conto di questa cosa: se questo integrale si annulla di suo allora posso andare avanti, se non si annulla devo imporre delle condizioni che lo annullino (come per esempio il fatto che agli estremi la soluzione si annulli).

[dissonance]

Ho capito. Ha senso ciò che dici; la soluzione si deve annullare in \(0\) per mangiarsi la singolarità. È una buona domanda la tua.

Sono sicuro che si intende \(u(1)=0\), allora. Se osservi la figura di Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function

vedi che la membrana oscillante ha il bordo fissato a \(0\).

[dRic]

Grazie mille! Avevo visto la figura di wikipedia, ma non ero sicuro se fosse un caso o la regolare generale.