componenti connesse

[anto_zoolander]

Ciao!

stavo facendo un esercizio relativo alla possibilità che due spazi(dati) fossero omeomorfi e il testo suggeriva di studiare le componenti connesse ottenute togliendo un punto ai due spazi.

Diciamo che prima dell'esercizio non si è data alcuna base teorica a supporto di questo suggerimento, quindi ho fatto da me trovando che:

siano $XcongY$(con $f$ omeo) allora

- per ogni sottospazio $Z$ di $X$ si ha $Z cong f(Z)$

- se $Z subseteq X$ allora $XsetminusZ cong Ysetminusf(Z)$

- $f$ permette di mettere in corrispondenza biunivoca i sottospazi connessi di $X,Y$

- $f$ permette di mettere in corrispondenza biunivoca le componenti connesse di $X,Y$

se qualcuno volesse le dimostrazioni, me lo dica pure.
In sostanza queste quattro cose giustificherebbero il suggerimento, ma rimane un interrogativo:

non ho comunque informazioni sull'omeomorfismo, so solo che due spazi omeomorfi hanno le stesse componenti connesse quindi per concludere che non possano essere omeomorfi devo praticamente

- togliere un punto da uno dei due sottospazi -> vedere quante componenti connesse ottengo -> vedere quante componenti connesse ha al più l'altro spazio una volta tolto un generico punto.

Per esempio $RR$ e $RR^2$ non possono essere omeomorfi perché ogni volta che tolgo un punto da $RR^2$ ottengo che ancora è connesso, mentre se tolgo un qualsiasi punto da $RR$ lo sconnetto(ottengo due componenti connesse).

is it correct?

[Bremen000]

Mi pare tutto giusto!

[anto_zoolander]

Ciao bremen, grazie

Non so se la mancanza di alcune parti di teoria all’interno dei libri, ma che poi viene richiesta negli esercizi, sia da interpretare come una specie di ‘sfida’ per lo studente.

[dissonance]

@anto: Ricordati la favola di John Baez. Il consiglio dei maghi lascia apposta delle cose fuori dai libri di testo.

[anto_zoolander]

@disssss
Hai ragione: potresti inoltrarmi il testo(questo di Baez) non riesco più a trovarlo.

[dissonance]

https://mathoverflow.net/a/90476/13042

Questa è la parte rilevante:

[...]And then, after asking around a bit, you'd have discovered that
everyone... everyone who counts, that is... has already realized
this!"

Eric pondered a moment. "But... but if it's *that* simple, why
don't my textbooks talk about it?"

Grinning evilly, the Wiz replied: "They certainly drop the
necessary clues. As for why they don't *emphasize* this stuff,
well, this is just one of those tricks we Wizards use to distinguish
the people who think for themselves from those who fall for any
plausible line of claptrap. In fact, every time Halloween falls
on a full moon - like this year - we get together and agree on
what facts like this we will keep secret, precisely to see who
rediscovers it for themselves. This year we...." At this point
the absent-minded Wiz caught himself. "Whoops! This is too
secret for you! Anyway, you just failed one of these tests."

[anto_zoolander]

Forse il link è sbagliato

[dissonance]

Ma no, segui il link che trovi in quella risposta.

[anto_zoolander]

Lo avevo fatto dal telefono e mi aveva portato in un luogo strano
Dal pc funziona. Grazie Peppe