Limite che non riesco a svolgere

[pilloeffe]

Ciao matos,

La "derazionalizzazione" è la strada giusta:

$ \lim_{n \to +\infty}\root[n]{sqrt(4n^2+sqrtn)-2n} = \lim_{n \to +\infty}\root[n]{\frac{(sqrt(4n^2+sqrtn)-2n)\cdot (sqrt(4n^2+sqrtn)+2n)}{sqrt(4n^2+sqrtn)+2n}} =... = 1 $

[pilloeffe]

E' giusto lo svolgimento del ps per il limite proposto?

No perché hai fatto il confronto di infiniti solo per il denominatore, anche se poi il risultato finale è corretto. In realtà il confronto di infiniti non è neanche necessario, basta raccogliere il termine dominante ($2n$) al denominatore:

$ \lim_{n \to +\infty}\root[n]{sqrt(4n^2+sqrtn)-2n} = \lim_{n \to +\infty}\root[n]{\frac{(sqrt(4n^2+sqrtn)-2n)\cdot (sqrt(4n^2+sqrtn)+2n)}{sqrt(4n^2+sqrtn)+2n}} = $
$ = \lim_{n \to +\infty}\root[n]{\frac{sqrtn}{sqrt(4n^2+sqrtn)+2n}} = \lim_{n \to +\infty}\root[n]{\frac{sqrtn}{2n(sqrt(1+sqrtn/(4n^2))+ 1)}} = $
$ = \lim_{n \to +\infty}\root[n]{\frac{1}{2sqrt{n}(sqrt(1+sqrtn/(4n^2))+ 1)}} = \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{2^{1/n} n^{1/(2n)}(sqrt(1+sqrtn/(4n^2))+ 1)^{1/n}} = 1 $

posto che $ \lim_{n \to +\infty} n^{1/n} = 1 $ (se non l'hai già visto nella teoria potresti provare a dimostrarlo... )

[pilloeffe]

Vorrei capire l'errore più che altro

In questo caso non c'è errore, ma non avendolo tu scritto nella soluzione iniziale che hai proposto, ho pensato che te ne fossi dimenticato. In questo caso ti è andata bene, ma in generale, per evitare errori, io preferisco e consiglio sempre di considerare il limite nella sua globalità evitando "spezzatini" potenzialmente pericolosi...