Limite che non riesco a svolgere

Messaggioda matos » 12/12/2018, 20:56

Sono in crisi su questo limite proposto dall'eserciziario ma senza soluzione allegata

$lim_(n->oo) \root[n](sqrt(4n^2+sqrtn)-2n)$

Ho fato vari tentativi tra cui una razionalizzazione,

$lim_(n->oo) \root[2n]n/\root[n](sqrt(4n^2+sqrtn)+2n)$

però vorrei capire cosa faccia:

$lim_(n->oo) \root[n](sqrt(4n^2+sqrtn)+2n)$ da qui non riesco

Ringrazio

PS: ah no ok forse ci sono, riporto il ragionamento per correzioni per confronto di infiniti $\root[n](sqrt(4n^2)+2n)$ da cui $\root[n](2n+2n)=\root[n](4n)=1$ ?

Se fosse sbagliato vi chiedo gentilmente se poteste correggerm il ragionamento, io vorrei apprendere quest'ultimo più che il risultato preconfezionato :oops:
Non mi convince in realtà l'aver fatto tutto questo spezzetamento e non in "contemporanea" su tutto il limite del denominatore.
matos
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Re: Limite che non riesco a svolgere

Messaggioda pilloeffe » 13/12/2018, 08:03

Ciao matos,

La "derazionalizzazione" è la strada giusta:

$ \lim_{n \to +\infty}\root[n]{sqrt(4n^2+sqrtn)-2n} = \lim_{n \to +\infty}\root[n]{\frac{(sqrt(4n^2+sqrtn)-2n)\cdot (sqrt(4n^2+sqrtn)+2n)}{sqrt(4n^2+sqrtn)+2n}} =... = 1 $
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Re: Limite che non riesco a svolgere

Messaggioda matos » 13/12/2018, 09:29

Grazie,

Siccome mi piacerebbe anche sapere questo, vorrei un tuo parere.

matos ha scritto:però vorrei capire cosa faccia:

$lim_(n->oo) \root[n](sqrt(4n^2+sqrtn)+2n)$

Ringrazio

PS: ah no ok forse ci sono, riporto il ragionamento per correzioni... dunque: per confronto di infiniti $\root[n](sqrt(4n^2)+2n)$ da cui $\root[n](2n+2n)=\root[n](4n)=1$ (ovviamente tutto sotto limite, non ho riportato la scrittura estera di limite)?

Se fosse sbagliato vi chiedo gentilmente se poteste correggerm il ragionamento, io vorrei apprendere quest'ultimo più che il risultato preconfezionato :oops:
Non mi convince in realtà l'aver fatto tutto questo spezzetamento e non in "contemporanea" su tutto il limite del denominatore.


E' giusto lo svolgimento del ps per il limite proposto?

Grazie e buona giornata pilloeffe
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Re: Limite che non riesco a svolgere

Messaggioda pilloeffe » 13/12/2018, 10:49

matos ha scritto:E' giusto lo svolgimento del ps per il limite proposto?

No perché hai fatto il confronto di infiniti solo per il denominatore, anche se poi il risultato finale è corretto. In realtà il confronto di infiniti non è neanche necessario, basta raccogliere il termine dominante ($2n$) al denominatore:

$ \lim_{n \to +\infty}\root[n]{sqrt(4n^2+sqrtn)-2n} = \lim_{n \to +\infty}\root[n]{\frac{(sqrt(4n^2+sqrtn)-2n)\cdot (sqrt(4n^2+sqrtn)+2n)}{sqrt(4n^2+sqrtn)+2n}} = $
$ = \lim_{n \to +\infty}\root[n]{\frac{sqrtn}{sqrt(4n^2+sqrtn)+2n}} = \lim_{n \to +\infty}\root[n]{\frac{sqrtn}{2n(sqrt(1+sqrtn/(4n^2))+ 1)}} = $
$ = \lim_{n \to +\infty}\root[n]{\frac{1}{2sqrt{n}(sqrt(1+sqrtn/(4n^2))+ 1)}} = \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{2^{1/n} n^{1/(2n)}(sqrt(1+sqrtn/(4n^2))+ 1)^{1/n}} = 1 $

posto che $ \lim_{n \to +\infty} n^{1/n} = 1 $ (se non l'hai già visto nella teoria potresti provare a dimostrarlo... :wink: )
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Re: Limite che non riesco a svolgere

Messaggioda matos » 13/12/2018, 12:00

Grazie avrei bisogno ancora di un chiarimento,

ma come mai è sbagliato spezzare il limite in due limiti a numeratore e denominatore?
In effetti per la proprietà dei radicali avrei:

$lim_(n->oo) \root[2n]n/\root[n](sqrt(4n^2+sqrtn)+2n)$
e se facessi il limite sopra è finito, sotto è finito: dunque posso applicare l'algebra dei limiti e il limite generale spezzarlo come limite di quello che sta sopra diviso limite di quello che sta sotto.
L'algerba dei limiti dovrebbe dirmi proprio questo nel caso siano finiti https://www.matematicamente.it/appunti/limiti/operazioni-sui-limiti/ .
Ovviamente se il calcolo separato mi avesse condotto a forme indeterminate es: [inf/inf], [0*inf] non potrei, ma essendo finiti l'algebra estesa dei limiti sarebbe applicabile e potrei separarli :oops:

Vorrei capire l'errore più che altro :) così da non sbagliare più. Perché la cosa grave è che nella mia testa filava come discorso.
matos
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Re: Limite che non riesco a svolgere

Messaggioda pilloeffe » 13/12/2018, 13:35

matos ha scritto:Vorrei capire l'errore più che altro

In questo caso non c'è errore, ma non avendolo tu scritto nella soluzione iniziale che hai proposto, ho pensato che te ne fossi dimenticato. In questo caso ti è andata bene, ma in generale, per evitare errori, io preferisco e consiglio sempre di considerare il limite nella sua globalità evitando "spezzatini" potenzialmente pericolosi... :wink:
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Re: Limite che non riesco a svolgere

Messaggioda matos » 13/12/2018, 13:44

Certo certo, infatti seguirò il tuo consiglio. Volevo solo capire se non avevo capito un cavolo di niente :-D
Scusa il gioco di parole.

Ti ringrazio moltissimo per il tuo aiuto, mi hai dato una grande mano e sollevato :)
matos
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