Re: Esercizio limiti

Messaggioda lepre561 » 13/12/2018, 11:10

$(arcsin(x^2))^3=x^6+o(x^8)$
$log(1+x^2)=x^2+o(x^2)$
$sin(x^2)=x^2+o(x^8)$

Giusto?
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Re: Esercizio limiti

Messaggioda gugo82 » 13/12/2018, 15:18

Qual è l’espressione dei rapporti tra i polinomi di Taylor?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Esercizio limiti

Messaggioda lepre561 » 13/12/2018, 15:59

Mi sfugge questa cosa...
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Re: Esercizio limiti

Messaggioda gugo82 » 13/12/2018, 16:06

Cosa?
Non ti sto chiedendo di ragionare, solo di scrivere una formula (che sicuramente hai già ricavato su un foglio per fare i conti).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Esercizio limiti

Messaggioda lepre561 » 13/12/2018, 16:21

ah intendi la risoluzione del limite fermandomi al primo ordine?

$(x^6+o(x^8))/((x^2+o(x^4)-(x^2+o(x^8))$
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Re: Esercizio limiti

Messaggioda gugo82 » 13/12/2018, 18:19

lepre561 ha scritto:ah intendi la risoluzione del limite fermandomi al primo ordine?

$(x^6+o(x^8))/((x^2+o(x^4)-(x^2+o(x^8))$

Esatto! :smt023
(Ma attenzione! Hai sbagliato a scrivere tutti i resti... Li correggo sotto. :wink:)

Da qui ti accorgi che le cose non funzionano: infatti, svolgendo i soliti contarielli, trascurando i termini d'ordine superiore ed usando le regole sulla somma degli $"o"$-piccoli, trovi:
\[
\frac{x^6 + \text{o} (x^6)}{(x^2 + \text{o} (x^2)) - (x^2 + \text{o} (x^2))} = \frac{x^6 + \text{o} (x^6)}{\text{o} (x^2) - \text{o} (x^2)} = \frac{x^6}{\text{o}(x^2)}\; .
\]
L'ultimo membro è in una forma non utilizzabile per il calcolo del limite, che si riduce a:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x^6}{\text{o}(x^2)}\; ,
\]
perché le informazioni sul comportamento del denominatore sono troppo "imprecise": infatti, ad esempio, il termine $"o"(x^2)$ può nascondere un termine $x^4$, un $x^6$ o anche un $x^8$ ed il comportamento delle frazioni:
\[
\frac{x^6}{x^4}\; ,\qquad \frac{x^6}{x^6}\;, \qquad \frac{x^6}{x^8}
\]
al limite per $x\to 0$ è diversissimo!

Nasce quindi la necessità di rendere l'approssimazione più precisa.
Dato che i problemi sono dovuti alla presenza di una differenza al denominatore (la quale elimina le informazioni precise sulla parte principale di $log(1+x^2) - sin x^2$), è chiaro che bisogna lavorare lì; dunque, prendiamo gli sviluppi di Taylor al secondo ordine utile di entrambi i termini della differenza:
\[
\begin{split}
\log (1+x^2) &= x^2 -\frac{1}{2} x^4 + \text{o}(x^4)\\
\sin x^2 &= x^2 - \frac{1}{6} x^6 + \text{o}(x^6)\; ,
\end{split}
\]
e sfruttiamo le stesse tecniche di calcolo usate sopra per stabilire che:
\[
\log (1+x^2) - \sin x^2 = -\frac{1}{2} x^4 + \text{o}(x^4)
\]
(osserva che i termini $x^6$ ed $"o"(x^6)$ sono di ordine superiore a $"o"(x^4)$ e perciò vengono "fagocitati" da quest'ultimo).
Ora, formiamo nuovamente il rapporto tra le espansioni di Taylor e proviamo a calcolare il limite:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{x^6 + \text{o}(x^6)}{-\frac{1}{2} x^4 + \text{o} (x^4)} = \lim_{x\to 0} -2 \frac{x^6}{x^4} = \lim_{x\to 0 } -2x^2 = 0\ldots
\]
... Tutto liscio.
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Re: Esercizio limiti

Messaggioda lepre561 » 13/12/2018, 19:21

Allora non so prorpio come ringraziarti hai dato una spiegazione veramente esaudiente e precisa l'unica cosa che però non ho capito sono i resti...

mi spiego meglio io ho la tabella daventi di tutti gli sviluppi in cui ad esempio per $arcsinx=x+x^3/6+...+o(x^(2n+2))$

se a questa formula applico la mia $x^2$ ottengo $o(x^2)^4=x^8$
noto però che tu inerisci $x^6$ come mai la mia formula è sbagliata?
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Re: Esercizio limiti

Messaggioda gugo82 » 13/12/2018, 20:20

Queste sono sottigliezze che, all'inizio, puoi risparmiarti, soprattutto se non ti è chiaro il quadro generale.

La formula di Taylor col resto di Peano afferma che ogni funzione $f$ "sufficientemente buona" intorno ad un punto $x_0$ (in particolare, dotata di derivate prima, seconda, ..., $(n-1)$-esima in $x_0$ con $n in NN$ ed $n >= 1$) e dotata di derivata $n$-esima in $x_0$ si può approssimare con il suo polinomio di Taylor d'ordine $n$ centrato in $x_0$ commettendo un erroe (termine di resto) infinitesimo d'ordine superiore all'ordine del polinomio in $x_0$, i.e.:
\[
f(x) = \underbrace{p_n(x;x_0)}_{\text{polinomio di Taylor}} + \text{o}\Big( (x-x_0)^n\Big)
\]
con \(p_n(x;x_0) = f(x_0) + f^\prime (x_0) (x-x_0) + \frac{1}{2}f^{\prime \prime}(x_0) (x-x_0)^2 + \cdots + \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0) (x-x_0)^n\).
Pertanto, usando questa formula, a meno di casi particolari, il termine $"o"$ contiene una potenza dello stesso grado dell'ultimo termine del polinomio di Taylor.
Questo è il modo in cui uso quasi sempre la formula se non c'è bisogno di finezze, ossia quando non devo pensare troppo ai casi particolari.

Tuttavia, in alcuni casi (per facilitare i calcoli, ad esempio), può essere utile ricordare che le proprietà delle funzioni elementari consentono di "migliorare" l'ordine di infinitesimo di alcuni sviluppi di Taylor.
Ad esempio, visto che le derivate pari di $sin$ si annullano tutte in $0$ è chiaro che i due polinomi di Taylor del seno d'ordine $1$ e d'ordine $2$, cioè $p_1(x;0)$ e $p_2(x;0)$, coincidono (il termine col quadrato manca in $p_2(x;0)$) e sono entrambi uguali ad $x$: ciò comporta che le formule di Taylor del primo e del secondo ordine contengono lo stesso polinomio, ma termini di resto differenti:
\[
\begin{split}
\sin x &= \underbrace{x + \text{o}(x)}_{\text{formula al primo ordine}} \\
&= \underbrace{x + \text{o}(x^2)}_{\text{formula al secondo ordine}}\; .
\end{split}
\]
Dunque la seconda ha un resto "più infinitesimo" della prima e ciò può venire utile in qualche contariello.
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Re: Esercizio limiti

Messaggioda lepre561 » 13/12/2018, 20:33

ok quindi mi consigli di mettere se non sempre ma la maggior parte delle volte l'ordine maggiore che ottengo dallo sviluppo all interno dell'opiccolo?
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