Coefficienti di Fourier di sen2pi

Messaggioda enna » 12/12/2018, 18:11

Ciao :) devo trovare i coefficienti di Fourier della funzione \( \displaystyle sen 2 \pi f_0 t \) . Studiando mi sembrava di aver capito che per trovare i coefficienti dovessi moltiplicare 1/periodo della funzione , moltiplicato per l’integrale della funzione stessa per \( \displaystyle e^(-i2\pi f_0t) \) . Considerando che la funzione ha una periodo di 2pi e che i margini di integrazione vanno da \( \displaystyle -\pi \) a \( \displaystyle \pi \) dovrei svolgere questo integrale \( \displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}sen(2\pi f_0 t)e^{-j2\pi f_0 t k} dt \) . Ora il mio libro suggerisce di utilizzare le formule di eulero , dalle quali posso ricavare dal seno una operazione tra esponenziali, però poi non ho la minima idea di come andare avanti. A parte il suggerimento del libro almeno fino a qui il mio ragionamento ha un senso ? Grazie mille
enna
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Re: Coefficienti di Fourier di sen2pi

Messaggioda mide » 12/12/2018, 19:43

Quell'esercizio si può benissimo fare senza integrare la funzione. Usa le formule di eulero per il seno e confronta con la definizione di Serie di Fourier.
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Re: Coefficienti di Fourier di sen2pi

Messaggioda Quinzio » 12/12/2018, 22:49

Devi usare

$\sin x = (e^{jx}-e^{-jx})/(2j)$
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Re: Coefficienti di Fourier di sen2pi

Messaggioda enna » 13/12/2018, 12:46

Ho una serie di domande, e scusate se risultano stupide. Prima di tutto , vorrei capire perché in alcuni esercizi i coefficienti vengono trovati applicando la definizione che ho scritto sopra , mentre in altri la moltiplicazione all’interno dell’integrale è *coskx. In questo caso non riesco a capire perché devo applicare la seconda.. applicando poi la formula di eulero sul coseno, posso portare fuori dall’integrake 2i e riscrivere cos kx come \( \displaystyle \frac{e^{ix }+ e^{-ix }}{2} \) . Ammesso che sia giusto, ora non so come andare avanti :oops:
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Re: Coefficienti di Fourier di sen2pi

Messaggioda mide » 13/12/2018, 15:52

A volte scrivi il coseno perchè la funzione da integrare è pari e quindi, quando sviluppi $e^{-j2\pi f_0t}=cos(2\pi f_0t)-jsin(2\pi f_0t)$ ti rimane solo la parte pari.
Per quanto riguarda l'esercizio, dalla serie di Fourier sai che un segnale periodico può essere espresso come somma di sinusoidi con diverse frequenze e coefficienti. In questo caso, una volta che sviluppi il seno con le formule di Eulero avrai la somma di due sinusoidi a frequenza $f_0$ (e quindi k=1 e -1) con coefficienti $\frac{1}{2j}$
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Re: Coefficienti di Fourier di sen2pi

Messaggioda enna » 14/12/2018, 10:47

Grazie mille per il chiarimento. Prima di tutto ho modificato il periodo che non è quello che ho scritto ma 1/f0 poi ho cambiato anche gli estremi dell’integrale dì che sono + e - pi/2. All’interno dell’integrale ho la mia funzione moltiplicata per il coseno, però applicando le formule di eulero ho scritto il sen2.. come operazione di esponenziale come quinzio mi ha suggerito. Risolvendo i calcoli a me è venuto \( \displaystyle \frac{1}{4\pi i} ({\frac{\pi}{2} - \frac{-\pi}{2}}- \frac{e^{-4i\pi f_0 \frac{\pi}{2} }-e^{-4i\pi f_0 \frac{-\pi}{2}}}{4i\pi f_0}) \)
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Re: Coefficienti di Fourier di sen2pi

Messaggioda mide » 15/12/2018, 20:24

Scusa ma non ho capito cosa hai fatto e nemmeno perchè ti ostini a voler fare l'integrale.
Comunque se moltiplichi il seno per il coseno, ottieni una funzione dispari la cui area (e quindi l'integrale sul periodo) è 0. Quindi non so come fa a venire quel risultato. L'integrale da risolvere è questo (senza ragionamenti sulla simmetria della funzione):
$int_{-T_0/2}^{\T_0/2}sen(2\pi f_0t)e^{-i2\pi kf_0t} dt=int_{-T_0/2}^{\T_0/2}\frac{e^{i2\pi f_0t}-e^{-i2\pi f_0t}}{2j}e^{-i2\pi kf_0t}dt$

Lascio a te i calcoli.

P.S. quella funzione non ha periodo $2\pi$ perchè non sai quanto vale $f_0$ (che è l'inverso del periodo $T_0$).
P.P.S. Per curiosità, non studi ingegneria o stai studiando da un libro per fisica/matematica?
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