Dubbi massimi e minimi

Messaggioda LoreT314 » 13/12/2018, 15:33

Ciao a tutti, avrei delle piccole incertezze su alcuni casi di massimi e minimi di una funzione che vorrei chiarire.
Prendiamo tre esempi
1)Consideriamo
$f(x) ={ (0 if x!=0),(1 if x=0 ):}$
Io direi che questa funzione ha un massimo assoluto in $x=0$
2)Consideriamo $f(x) ={ (lnx if x>0),(x^2 if x<=0 ):}$
In questo caso direi che la funzione in $x=0$ presenta un minimo relativo.
3)Per ultimo prendiamo
$f(x) ={ (-1 if x=-1),(x if x>0 ):}$
Questa funzione non presenta né massimi né minimi, perché $x=-1$ non è di accumulazione per il dominio e quindi non può essere massimo o minimo, e $x=0$ non fa parte del dominio (quindi se proprio vogliamo sarà un estremo inferiore).

Tutto ciò che ho detto è corretto o c'è qualche errore? Grazie mille in anticipo
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Re: Dubbi massimi e minimi

Messaggioda anto_zoolander » 13/12/2018, 16:04

Ciao!

La prima è ovvia, quindi passiamo al caso successivo.

La seconda non ha minimo relativo in $x=0$: se noti in ogni intorno di $0$ la funzione cambia segno

Per quanto riguarda la terza che vuol dire che un punto di minimo non possa essere isolato? I punti del dominio isolati non possono essere di estremo(assoluto/locale)? Anzi, una delle due è sempre vera...
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Re: Dubbi massimi e minimi

Messaggioda LoreT314 » 13/12/2018, 16:51

Ciao, innanzitutto io stavo facendo riferimento a questa definizione di massimo presa da wikipedia (ovviamente sono ben accette eventuali definizioni più precise):
Si dice che una funzione $f$ ha in $x_0$ un massimo locale (o relativo) se $x_0$ appartiene al dominio $D$ di $f$, è di accumulazione per $D$, e inoltre $f(x_0)>=f(x)$ in un intorno di $x_0$.
Quindi tu mi dici che l'intorno di cui parla deve essere necessariamente un intorno completo? Perché nell'esempio 2 se prendiamo un intorno sinistro di 0 allora valgono le proprietà della definizione e quindi dovrebbe essere di minimo.
Per quanto riguarda la 3, sempre in riferimento alla definizione non dovrebbe essere ne di massimo e di minimo. Si potrebbe magari ampliare la definizione anche ai punti isolati, però come farei a stabilire se è un massimo oppure un minimo?
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Re: Dubbi massimi e minimi

Messaggioda LoreT314 » 13/12/2018, 17:18

Beh ora che ci penso è ovvio che l'intorno debba essere completo, altrimenti prendendo anche intorni solo sinistri o solo destri risulterebbe che qualsiasi punto di una parabola è di massimo o minimo, ma ciò è chiaramente non vero.
Sono però talvolta impossibilitato a prendere un intorno completo per esempio nel caso $f(x)=sqrt(1-x^2)$, dove $x=1$ (punto di minimo) si trova ad un estremo del dominio, quindi posso prendere intorni solo sinistri.
Una buona definizione potrebbe allora essere cosi?
Data $f:D sube RR rarr RR$, il punto $ x_0 \in D$, di accumulazione per $D$ si definisce di massimo relativo se $EE epsilon>0$ tale che se $x in D ^^ |x-x_0|<epsilon$ allora $f(x_0)>=f(x)$
Certo in questo modo ancora non consideriamo il caso in cui $x_0$ non sia di accumulazione per $D$
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Re: Dubbi massimi e minimi

Messaggioda anto_zoolander » 13/12/2018, 17:29

Mmh.. in effetti la definizione riportata su Wikipedia è quella.
Non sono molto d’accordo onestamente, per esempio la funzione

$f(x):={(1 if x>0), (-392 if x=-3) :}$

Per me ha minimo in $x=-3$

comunque si, deve essere completo.
La definizione di intorno prevede che se $U$ è intorno di $x$ allora $U$ contiene un aperto contente $x$
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Re: Dubbi massimi e minimi

Messaggioda LoreT314 » 13/12/2018, 17:54

Nel caso di massimi e minimi assoluti si potrebbe fare così
Data sempre $f: D sube RR rarr RR$ consideriamo l'insieme $f(D)={y in RR : EE x in D \ t.c. \ f(x)=y}$
Preso $y_0=max{f(D)}$ diciamo che il punto $x_0$, isolato per $D$ è di massimo assoluto se $x_0 in D \ t.c. f(x_0)=y_0$
Così spostiamo il problema sulla definizione di massimo di un insieme (come più piccolo dei maggioranti che appartiene all'insieme in parole povere) che dovrebbe funzionare anche senza che il punto sia di accumulazione
Non so se ha senso :lol:
Però non funziona nel caso di massimi o minimi relativi
anche perchè prendiamo ad esempio
$f(x)={(x if x>0),(1 if x=-1):}$
come stabiliamo se -1 è massimo o minimo?
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Re: Dubbi massimi e minimi

Messaggioda anto_zoolander » 13/12/2018, 18:06

Infatti i massimi e minimi assoluti sono proprio $max f(D)$ e $min f(D)$ se esistono

Data una funzione $f:D->RR$ un punto $x_0$ è di minimo relativo se esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(x_0)=minf(DcapU)$

Ossia se $f(x_0)leqf(x), forallx in DcapU$

Se un punto $x_0$ è isolato del dominio, e $U$ è l’intorno che lo isola, allora $f(DcapU={x_0})={f(x_0)}$
È chiaro quindi che $x_0$ è sia massimo che minimo locale per $f$ in quanto essendo

$f(x)=f(x_0),forall x in DcapU$

Sono vere sia $f(x)leqf(x_0)$ che $f(x)geqf(x_0)$ in quell’insieme, e quindi è sia minimo che massimo locale.

Chiaramente i punti isolati sono di scarso interesse da questo punto di vista, peró è sempre bene tenerlo a mente.
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Re: Dubbi massimi e minimi

Messaggioda LoreT314 » 13/12/2018, 18:14

Ok i dubbi sono chiariti, grazie mille per l'aiuto
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