Codominio ed immagine

[matteo_g]

Ciao, avrei bisogno di un esempio per capire meglio la differenza fra codominio ed immagine di una funzione.
So che il codominio è l'insieme di tutti i valori possibili delle "uscite" di una funzione, mentre l'immagine è l'insieme di tutte le possibili "uscite" di una funzione ma come ingresso devo usare valori contenuti nel dominio.

Mi potreste fare un esempio con una semplice funzione in cui codominio ed immagine non corrispondono?
Grazie.

[anto_zoolander]

Ciao!

Prendi la funzione $sin:RR->RR$ il codominio è $RR$ e l’immagine è $[-1,1]$

[matteo_g]

Ok, grazie.

Ma ancora mi rimane un dubbio.
Come posso immaginare il codominio in termini più "realistici"? mi sfugge proprio questa cosa.
Perchè se con codominio intendiamo tutte le possibili "uscite" (e mettiamo R) in realtà sono consentiti solo valori fra -1 e +1.
Da dove viene fuori R? cosa rappresenta questo R in termini "pratici"?

La vedo, apparentemente, come un'enorme "stranezza".

[anto_zoolander]

Non c'è nulla di strano. Cosa è una funzione? partiamoci da quì

[axpgn]

I miei due cent …

C'era una volta il codominio … … nel senso che ultimamente, su diversi libri, molti (purtroppo) considerano il codominio come l'insieme delle immagini mentre "tradizionalmente" il codominio era l'insieme che conteneva tutte le immagini ma non solo; capita la differenza?

Perché il codominio poteva contenere anche valori diversi dalle immagini? Per vari motivi ma in primo luogo perché a priori non è affatto banale determinare esattamente quali siano tutte le immagini.

Cordialmente, Alex

[matteo_g]

axpgn, hai centrato la mia domanda:

"perchè il codominio poteva contenere anche valori diversi dalle immagini?"

è proprio questo che mi sfugge e mi affligge

[anto_zoolander]

Una funzione è definita a partire da due insiemi, l’immagine è definita una volta data una funzione.
Se per ogni funzione si avesse $imf= c o d o m i n i o$ allora non avrebbe nemmeno senso parlare di suriettività

In termini pratici il codominio contiene tutti i valori che potrebbero essere output; l’immagine contiene tutti e soli i valori del codominio che sono anche output

Immagina di avere un rubinetto, una vasca e una funzione che porta l’acqua dal rubinetto alla vasca.
Il codominio(ossia l’insieme dove l’acqua del rubinetto può finire) e l’immagine è la porzione di vasca effettivamente riempita: pure se la vasca non l’hai riempita totalmente, continua ad essere lì

Più pratico di così, non mi veniva.

[matteo_g]

Ok, con l'esempio pratico mi è più chiaro.

Grazie ad entrambi

[axpgn]

Un esempio che avevo letto tanti anni fa era questo:

Prendiamo la funzione che assegna ad ogni uomo sulla Terra il suo colore degli occhi con dominio tutta l'Umanità e codominio l'insieme di tutti i colori possibili.
Nel codominio c'è anche il color "cremisi"; che io sappia nessuno ha gli occhi di color cremisi ma potresti escluderlo sicuramente? Ecco che fissando come codominio l'insieme di tutti i colori, sei a posto

[matteo_g]

Nel tuo caso, fisseremo quindi come immagine quei colori che sicuramente sappiamo esistere per l'umanità giusto?