Limite di funzione

[ValeForce]

Salve a tutti,
avrei bisogno di un aiuto con il seguente limite:

$lim_(x->+oo)(e^xsen(e^-x senx))/x$

ho provato a riscriverla in vari modi, ma la forma indeterminata continua apparentemente a non andarsene...

[anto_zoolander]

Ciao!

Quanto vale $lim_(x->+infty)e^(-x)sinx$?

[ValeForce]

$sinx$ è una funzione limitata invece $e^-x$ tende a zero se $x->+oo$ ... quindi

$lim_(x->+oo)e^-xsinx = 0$

Tornando al limite iniziale, forse sto vedendo una forma indeterminata del tipo $+oo * 0$ che "in realtà" non è indeterminata?

[anto_zoolander]

si è indeterminata.

Quello che ti ho detto serve proprio per il limite iniziale. Ti dovrebbe esser noto che $sin(f(x))$ è asintotico a $f(x)$ se $f(x)->0$ no?

Unendo questa cosa al fatto che $lim_(x->+infty)e^(-x)sinx=0$ allora...

... $sin(e^(-x)sinx)$ è asintotico a ...

[ValeForce]

... $ sin(e^(-x)sinx) $ è asintotico a ...

a $e^-x sinx$ ; cioè $lim_(x->+oo) (sin(e^-xsinx))/(e^-xsinx) =1$

e quindi il limite iniziale dovrebbe risultare $0$

Ti ringrazio per la tua pazienza, sei stato molto chiaro

[anto_zoolander]

No! Il limite iniziale viene $1$.

[ValeForce]

Beh... rivelo i miei calcoli:

$ lim_(x->+oo)(e^xsin(e^-x sinx))/x = lim_(x->+oo)[(sin(e^-x sinx))/(e^-xsinx)*sinx/x]= 1*0=0 $

perché come abbiamo detto prima

$ lim_(x->+oo) (sin(e^-xsinx))/(e^-xsinx) =1 $

e inoltre mi sembra che $lim_(x->+oo) (sinx)/x = 0$

cosa c'è che non va

[anto_zoolander]

Non va che è sbagliato quel limite, è:

$lim_(x->0)(sinx)/x=1$

Abbiamo proprio finito di dire che $lim_(f(x)->0)sin(f(x))/(f(x))=1$...

[ValeForce]

Ho capito che $ lim_(x->+oo) (sin(e^-xsinx))/(e^-xsinx) =1 $, ma nel limite Iniziale mi rimane un altro "pezzo" che è

$ lim_(x->+oo) sinx/x $ e non $ lim_(x->0)(sinx)/x$

...

$ lim_(x->+oo) sinx/x=0 $ perché $sinx$ è una funzione limitata invece $1/x$ tende a $0$ se $x->+oo$ quindi

$lim_(x->+oo)[(sin(e^-x sinx))/(e^-xsinx)*sinx/x]= 1*0=0 $

[anto_zoolander]

Giuuusto!
Perdonami, pensavo fosse in $0$ il limite: infatti l’asintoticità rimane anche in $0$ Allora è perfetto