Condensatore riempito di liquido

Messaggioda Nagato » 08/01/2019, 15:25

Ciao a tutti, vorrei proporvi un esercizio di elettrostatica:

Si consideri un condensatore piano con armature quadrate di lato $a$ e distanti tra loro $d$.

(a) Si determini la carica e l'energia immagazzinata nel condensatore quando si applica una differenza di potenziale \(\displaystyle \Delta V \).

Allora, la capacità di un condensatore piano è data da \(\displaystyle C=\epsilon_0S/d \), dove nel mio caso \(\displaystyle S=a^2 \).
Quindi, dalla relazione \(\displaystyle q=C\Delta V \) ottengo \[\displaystyle q=\frac{\epsilon_0a^s\Delta V}{d}, \qquad \Rightarrow \qquad \mathcal{U}=\frac{1}{2}\frac{\epsilon_0a^s\Delta V^2}{d}. \] (b) Mantenendo la stessa differenza di potenziale, si introduce nel condensatore un fluido di costante elettrica \(\displaystyle \epsilon_r \). Determinare i nuovi valori di carica e di energia se il liquido raggiunge un'altezza di \(\displaystyle x=a/2 \).

Penso di poter considerare questa situazione come due condensatori in parallelo; dunque, si ha \(\displaystyle C_1=\epsilon_0(a/2)^2/d \) e \(\displaystyle C_2=\epsilon_0\epsilon_r(a/2)^2/d \), che sommate danno \[\displaystyle C_{eq}=C_1+C_2=\epsilon_0\frac{a^2}{4d}(1+\epsilon_r). \] Dal momento che la tensione è rimasta invariata, la carica libera totale è ora \(\displaystyle q=C_eq\Delta V \) e l'energia corrispondente è sempre data da \(\displaystyle \mathcal{U}=q\Delta V/2 \). Tuttavia non essendoci una figura non sono sicuro di come sia messo il liquido all'interno, potrebbe essere anche completamente a ridosso di una delle armature, così da comportarsi come un condensatore in serie... :smt102

(c) Assumendo di conoscere la densità \(\displaystyle \rho \) del liquido, determinare la differenza di altezza $h$ del dielettrico tra la superficie interna ed esterna del condensatore.

Questa proprio mi sfugge completamente. Voi sapete indicarmi bene cos'è $h$?
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Re: Condensatore riempito di liquido

Messaggioda mgrau » 08/01/2019, 17:09

In effetti non è chiaro se le armature sono orizzontali -in serie- o verticali - in parallelo. In ogni caso ibtrodurre il dielettrico diminuisce l'energia del condensatore quindi il liquido viene risucchiato nel condensatore, il suo livello è più alto che fuori
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Re: Condensatore riempito di liquido

Messaggioda Nagato » 08/01/2019, 18:13

Continua a non essermi molto chiara la situazione... il liquido viene messo nel condensatore e raggiunge una altezza $x$, e fin qua ci siamo. Ma all'esterno del condensatore che liquido c'è? Come faccio a capirne l'altezza? :?
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Re: Condensatore riempito di liquido

Messaggioda mgrau » 08/01/2019, 19:36

La situazione potrebbe essere questa, ipotizzando le armature verticali


Immagine

Se sei in grado di calcolare l'energia del campo elettrico in funzione di $h$, poi, derivando rispetto allo spostamento verticale puoi trovare la forza con cui il liquido è attratto fra le armature
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Re: Condensatore riempito di liquido

Messaggioda Nagato » 08/01/2019, 21:14

Ok ti ringrazio, ora è più chiaro. Però ho difficoltà a mettere in pratica il suggerimento. Considerando la situazione in parallelo mi risulta difficile scrivere le capacità in funzione dello spostamento verticale $z$, non conoscendo l'altezza del condensatore... effettivamente avrebbe più senso immergere in orizzontale il condensatore, in modo che la forza esercitata dalle piastre attiri la superficie del liquido creando lo scompenso $h$. Ha senso?
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Re: Condensatore riempito di liquido

Messaggioda mgrau » 08/01/2019, 22:06

Nagato ha scritto: Considerando la situazione in parallelo mi risulta difficile scrivere le capacità in funzione dello spostamento verticale $z$, non conoscendo l'altezza del condensatore... effettivamente avrebbe più senso immergere in orizzontale il condensatore, in modo che la forza esercitata dalle piastre attiri la superficie del liquido creando lo scompenso $h$. Ha senso?

Veramente la geometria del condensatore è nota: è un quadrato di lato $a$ e distanza $d$. Però non ho fatto i calcoli, ed effettivamente può essere che che per esprimere l'energia in funzione di $h$ occorrano dei dati in più - che so, il livello base del liquido, per esempio. Magari colle armature messe in un modo occorrono, e nell'altro no...
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Re: Condensatore riempito di liquido

Messaggioda dRic » 09/01/2019, 01:53

Magari dico una cappellata, ma questo commento di mgrau
mgrau ha scritto:In ogni caso ibtrodurre il dielettrico diminuisce l'energia del condensatore quindi il liquido viene risucchiato nel condensatore, il suo livello è più alto che fuori

mi fa venire in mente che magari si può applicare la conservazione dell'energia (elettrostatica + potenziale di gravità) al posto di lavorare sulla forza.

PS: Non ho capito molto bene il ragionamento per cui la diminuzione di energia fa sì che il liquido venga risucchiato. Però prendendolo per vero mi verrebbe da fare così
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Re: Condensatore riempito di liquido

Messaggioda mgrau » 09/01/2019, 09:45

dRic ha scritto:PS: Non ho capito molto bene il ragionamento per cui la diminuzione di energia fa sì che il liquido venga risucchiato.

Perchè la forza è il gradiente del potenziale
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Re: Condensatore riempito di liquido

Messaggioda dRic » 09/01/2019, 20:52

Perdonami, ma non ho capito. Cioè a logica mi torna che il liquido venga risucchiato perché il campo nelle armature dovrebbe indurre polarizzazione nel mezzo ed essendo liquido esso si muoverà verso le lastre del condensatore, ma non ho capito il nesso con l'energia.
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Re: Condensatore riempito di liquido

Messaggioda mgrau » 09/01/2019, 21:28

dRic ha scritto:Perdonami, ma non ho capito. Cioè a logica mi torna che il liquido venga risucchiato perché il campo nelle armature dovrebbe indurre polarizzazione nel mezzo ed essendo liquido esso si muoverà verso le lastre del condensatore, ma non ho capito il nesso con l'energia.

Tu vuoi ragionare in termini di forze, ma in questo caso mi pare poco pratico.
In generale un sistema soggetto a forze conservative, come nel caso nostro, si trova in un equilibrio stabile nella configurazione a minore energia potenziale - pensa ad una biglia in una scodella. Magari nel caso della biglia è facile passare dal potenziale alla forza che tira la biglia verso il fondo; nel caso nostro è molto meno chiaro - anche se è sempre il gradiente del potenziale, non è ovvia l'origine della forza- , per cui, per me, è più semplice trovare per quale altezza del liquido l'energia potenziale - elettrica e gravitazionale - è minima, e quella sarà la configurazione di equilibrio.
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