Un gruppo con ordine primo è ciclico

Messaggioda anti-spells » 03/01/2019, 17:54

Salve, qualcuno può dimostrarmi questa affermazione? Non capisco che supposizioni devo fare

Grazie
anti-spells
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Re: Un gruppo con ordine primo è ciclico

Messaggioda luca69 » 03/01/2019, 18:16

Dato $g \in G$, $g \ne e$, è $<<g>> \le G$ (chiusura e inversi). In particolare, se $|G|=p$, con $p$ primo, allora (Lagrange) $|<<g>>|=p$ e quindi $G=<<g>>$.
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Re: Un gruppo con ordine primo è ciclico

Messaggioda anti-spells » 06/01/2019, 21:38

Grazie, scusa se rispondo solo ora ma sto studiando per diversi esami e a volte mi dimentico..
Non ci avevo pensato di mostrare che $<g> <= G$ , grazie per l'aiuto.
Se riuscissi a darmi una dritta anche per questo:
$f:G \to H$ omomorfismo di gruppi, mostrare che:
se $N<=H$ (stgr normale) allora $f^(-1)(N)<=G$ (stgr normale)
se $M<=G$ (stgr normale) allora non è detto che $f(M)<=H$ (stgr normale)

Mi basta un consiglio, non voglio la soluzione, grazie

EDIT: Forse così è corretto (?):
Siano $ain f^(-1)(N) rarr f(a) in N$ e $b,b^(-1) in G rarr f(b), f(b^(-1)) in H$
allora $f(bab^(-1)) = f(b)f(a)(f(a))^(-1) in N rarr bab^(-1) in f^(-1)(N) rarr f^(-1)(N)<=G$ (strg normale)

non mi convince
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Re: Un gruppo con ordine primo è ciclico

Messaggioda luca69 » 08/01/2019, 15:35

Prendilo sub judice perchè sono solo un autodidatta, ma a me il tuo EDIT sembra corretto (a parte il refuso qui
anti-spells ha scritto:$ f(bab^(-1)) = f(b)f(a)(f(a))^(-1)$
con $a$ al posto di $b$).

Ciao
luca69
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Re: Un gruppo con ordine primo è ciclico

Messaggioda luca69 » 08/01/2019, 18:42

Per il secondo punto, considera che $M$ normale in $G \Rightarrow \forall g \in G, forall m \in M, \exists m' \in M$ tale che $g^(-1)mg=m'$, da cui $(f(g))^(-1)f(m)f(g)=f(m')$: questo significa che $f(M)$ è normale in $H$ solo se...
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Re: Un gruppo con ordine primo è ciclico

Messaggioda anti-spells » 08/01/2019, 22:37

Solo se H è abeliano?
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Re: Un gruppo con ordine primo è ciclico

Messaggioda luca69 » 09/01/2019, 11:56

Io avevo in mente solo se $f$ è suriettivo, ma il mio hint in realtà porta soltanto a dire che $f(M) ⊴ f(G)$ e quindi che $f$ suriettivo $\Rightarrow f(M) ⊴ H$, che è altra cosa rispetto a quello che ti si chiede. Per dimostrare la mia idea dovrei far vedere che, $\exists \tilde h \in H \setminus f(G) \Rightarrow \exists \hat h \in H|f(M)\hat h \ne \hat hf(M)$, ma per ora non ci sono riuscito...
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Re: Un gruppo con ordine primo è ciclico

Messaggioda otta96 » 12/01/2019, 17:18

anti-spells ha scritto:$f:G \to H$ omomorfismo di gruppi, mostrare che:
se $N<=H$ (stgr normale) allora $f^(-1)(N)<=G$ (stgr normale)

Come l'hai dimostrato nell'edit va bene.

se $M<=G$ (stgr normale) allora non è detto che $f(M)<=H$ (stgr normale)

Prova ad immergere un sottogruppo non banale e proprio di un gruppo semplice nel gruppo.
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Re: Un gruppo con ordine primo è ciclico

Messaggioda anti-spells » 13/01/2019, 00:38

otta96 ha scritto:
anti-spells ha scritto:$f:G \to H$ omomorfismo di gruppi, mostrare che:
se $N<=H$ (stgr normale) allora $f^(-1)(N)<=G$ (stgr normale)

Come l'hai dimostrato nell'edit va bene.

se $M<=G$ (stgr normale) allora non è detto che $f(M)<=H$ (stgr normale)

Prova ad immergere un sottogruppo non banale e proprio di un gruppo semplice nel gruppo.


Questa cosa serve per capire o è la soluzione? Perché "immersioni" non le abbiamo mai viste
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Re: Un gruppo con ordine primo è ciclico

Messaggioda otta96 » 13/01/2019, 01:29

anti-spells ha scritto:Questa cosa serve per capire o è la soluzione?

Un po' tutt'eddue :D

Perché "immersioni" non le abbiamo mai viste

Mi sembra strano, magari le avete chiamate in un altro modo (forse inclusioni) ma è semplicemente, dati un insieme $X$ e un suo sottoinsieme $Y$, la funzione $i:Y\toX$ tale che $i(x)=xAAx\inY$, che è iniettiva. Nel caso $X$ sia un gruppo e $Y$ sia un sottogruppo l'immersione è anche un omomorfismo di gruppi iniettivo (epimorfismo).
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