Asintoti funzione razionale fratta

Messaggioda MaRkTheGod » 10/01/2019, 16:39

Salve a tutti!

Sto svolgendo un esercizio in cui chiede di trovare eventuali asintoti di questa funzione:

$f(x)=(x^2-2x)/(x^2-4)$

La funzione, ovviamente non è definita in -2 e 2.

Il risultato del limite per x che tende a 2 viene fuori un $0/0$ che è una forma indeterminata, fin qui ok.

Scompongo:

$(x ( x - 2 )) / ((x+2) (x-2))$

Semplifico, quindi:

$(x)/(x+2)$

Ebbene, 1° dubbio.

Facendo limite per x che tende a 2 della funzione scomposta, viene fuori un $2/4$ che diventa $1/2$, ed è il punto di discontinuità?

Grazie mille anticipatamente a tutti.
Ultima modifica di MaRkTheGod il 10/01/2019, 23:43, modificato 1 volta in totale.
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Re: Asintoti funzione razionale fratta

Messaggioda gugo82 » 10/01/2019, 17:36

MaRkTheGod ha scritto:Sto svolgendo un esercizio dove mi chiede [...]

"Un esercizio dove mi chiede"???

In cui... :lol:

MaRkTheGod ha scritto:[...] di trovare eventuali asintoti di questa funzione:

$f(x)=(x^2-2x)/(x^2-2)$

Il dominio, ovviamente non è definito in -2 e 2.

"Definito" non è un aggettivo riferibile a "dominio", casomai a "funzione".

E poi "ovviamente" manco per idea, dato che $+-2 in "Dom" f$.
Sono altri i punti da escludere.

MaRkTheGod ha scritto:Facendo il limite per x che tende a 2 e -2 viene fuori un $0/0$ che è una forma indeterminata, fin qui ok.

Ma nemmeno per idea.
Infatti $f(2)=(4 -4)/(4-2)=0$, $f(-2)=(4+4)/(4-2)=4$.

MaRkTheGod ha scritto:Ovviamente ci sono due strade:

1) Scompongo

2) Mi avvalgo del Teorema di de l'Hopital.

"Ovviamente"?
Solo due strade?

MaRkTheGod ha scritto:Li ho provati entrambi, e dunque:

Scompongo:

$((x)) ( x - 2 ) / (x+2)/(x-2) $

Certo che se continui a commettere errori da primo superiore non ne esci... O svolgi gli esercizi con attenzione, oppure lasci perdere.

MaRkTheGod ha scritto:Semplifico, quindi:

$(x)/(x+2)$

Ebbene, 1° dubbio.

Facendo limite per x che tende a -2 e 2 della funzione scomposta, viene fuori un $2/4$ che diventa $1/2$, ed è il punto di discontinuità?

A parte problemi di composizione della frase (che non vuol dire nulla in italiano corrente) ed a parte i calcoli svolti male in precedenza, qual è la definizione di punto di discontinuità?

MaRkTheGod ha scritto:Inoltre viene fuori un $-2/0$, che questo limite tende a + o - infinito. (Precisamente limite per x che tende a -2, quindi possiamo affermare che questa funzione ha un asintoto verticale in $x = - 2 $.

Ho provato anche con de l'Hopital [...]

Beh, ma se sbagli tutti i conti dall'inizio...
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Re: Asintoti funzione razionale fratta

Messaggioda MaRkTheGod » 10/01/2019, 20:42

Ho sbagliato a trascrivere: il denominatore della funzione non è $x^2-2$ bensì $x^2-4$
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Re: Asintoti funzione razionale fratta

Messaggioda gugo82 » 10/01/2019, 23:12

Ok.
La prossima volta fa più attenzione e ricordati le direttive presenti in questo avviso.

Ad ogni buon conto, la funzione razionale:
\[
f(x) := \frac{x^2 - 2x}{x^2 - 4}
\]
è molto semplice da studiare. Infatti, nel dominio $"Dom" f = RR \setminus \{ +-2\}$ risulta:
\[
f(x) = \frac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x}{x+2}
\]
ergo il grafico di $f$ è un'iperbole traslata. In paticolare, il grafico di $f$ ha come asintoti le rette di equazioni $y=1$ e $x=-2$ che si trovano in maniera immediata sfruttando la Geometria Analitica delle superiori.

Ponendo di non ricordare gli argomenti di Geometria Analitica, si può procedere nel modo solito dell'Analisi: dato che:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to \pm \infty} f(x) &= \lim_{x\to \pm \infty} \frac{x}{x+2} = 1\\
\lim_{x\to -2^\pm} f(x) &= \lim_{x\to -2^\pm} \frac{x}{x+2} = \mp \infty
\end{split}
\]
le rette di equazioni $y=1$ ed $x=-2$ sono, rispettivamente, asintoto orizzontale ed asintoto veritcale (a sinistra in altro e a destra in basso) per il grafico di $f$.
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Re: Asintoti funzione razionale fratta

Messaggioda MaRkTheGod » 10/01/2019, 23:39

Perfetto grazie!

Ultima cosa: il limite per x che tende a 2 (che riconduce alla forma indeterminata $0/0$) ha come risultato $1/2$. Cosa rappresenterebbe?
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Re: Asintoti funzione razionale fratta

Messaggioda gugo82 » 11/01/2019, 00:21

Secondo te?
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Re: Asintoti funzione razionale fratta

Messaggioda MaRkTheGod » 11/01/2019, 01:27

Punto di discontinuità?!
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Re: Asintoti funzione razionale fratta

Messaggioda gugo82 » 11/01/2019, 01:57

Dipende... Io non lo chiamerei così, ad esempio, perché la definizione che ho io di "punto di discontinuità" non me lo consente.

Tu quale definizione di "punto di discontinuità" usi?
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Messaggioda dissonance » 11/01/2019, 10:31

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In italiano è sbagliato, ma lo sento molto spesso. Secondo me è un francesismo. Infatti, "où" in francese è sia un pronome relativo sia un avverbio di luogo.

E adesso che ho fatto questo commento mi sento un piccolo Umberto Eco. :-)
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Re: OT grammaticale

Messaggioda gugo82 » 11/01/2019, 12:00

dissonance ha scritto:
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dove mi chiede

In italiano è sbagliato, ma lo sento molto spesso. Secondo me è un francesismo. Infatti, "où" in francese è sia un pronome relativo sia un avverbio di luogo.

E adesso che ho fatto questo commento mi sento un piccolo Umberto Eco. :-)

Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Francesismo, già.
Anche io in napoletano ho buatta (contenitore di latta dalla forma bassa e larga; per estensione, donna tarchiata) mutuato dal francese “boîte”, ma non lo uso quando scrivo in italiano... :lol:
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