Limite forma indeterminata

Messaggioda Giacomo_frik24 » 10/01/2019, 21:52

Ciao a tutti stavo svolgendo alcuni esercizi di ripasso e mi sono sorti alcuni dubbi su questo esercizio:

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{(1+1/x)^(x^2)}$

Inizialmente ho riscritto il denominatore come $e^\log f(x)$

Successivamente ho sviluppato in serie di taylor il logaritmo e risparmiandovi i calcoli sono giunto al risultato di $e^(1/2)$

Ora scusate la domanda stupida ma, visto che vale il limite notevole per x che tende a infinito $(1+1/x)^x = e$, perchè non posso sostituire direttamente $e$ a denominatore? Il risultato sarebbe chiaramente diverso però non capisco perchè non posso utilizzare il limite notevole in questo caso.
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Re: Limite forma indeterminata

Messaggioda Mephlip » 10/01/2019, 22:59

Perché non si va al limite "a pezzi": la variabile va fatta tendere al limite dappertutto contemporaneamente.
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Re: Limite forma indeterminata

Messaggioda Giacomo_frik24 » 11/01/2019, 10:05

Ti riferisci al secondo caso giusto? Potresti spiegarmi perchè dici che fatta in quel modo è fatta “a pezzi”?
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Re: Limite forma indeterminata

Messaggioda Mephlip » 11/01/2019, 20:55

Il punto è che $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ tende ad $e$ quando $x \to +\infty$, ossia quando passi al limite; ma passando al limite "devi far tendere anche tutte le altre $x$ a $+\infty$", perché l'operazione di limite non è selettiva (in sostanza, non puoi far passare solo le $x$ che vuoi tu al limite).
Infatti, così facendo (erroneamente), praticamente "ignoreresti" la $x$ all'esponente dell'esponenziale al numeratore; se ci pensi è proprio un errore concettuale, è come sostituire $x=1$ in un'equazione solo nelle $x$ a tua scelta. Non ha senso.
Spero di essermi spiegato, se hai ancora dubbi non esitare a chiedere!
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Re: Limite forma indeterminata

Messaggioda Salvy » 11/01/2019, 23:47

Ma il risultato è 0?
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Re: Limite forma indeterminata

Messaggioda Mephlip » 12/01/2019, 21:33

No, il limite è $e^{\frac{1}{2}}$; come hai anticipato tu.
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