un altro integrale difficile

Messaggioda Lore.p98 » 10/01/2019, 17:05

Questo integrale mi ha dato seri problemi, ho provato a risolverlo per parti ma è una follia i calcoli sono troppo lunghi e difficili, non credo si debba risolvere così.
$intarccos(7x^2-sqrt(49x^4-50x^2+1))dx$
Lo passo a voi esperti
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Re: un altro integrale difficile

Messaggioda Lore.p98 » 11/01/2019, 14:49

@pilloeffe che ne pensi, riesci ad aiutarmi anche sta volta?
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Re: un altro integrale difficile

Messaggioda gugo82 » 11/01/2019, 15:43

Ma da dove li stai prendendo? :lol:
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: un altro integrale difficile

Messaggioda dissonance » 11/01/2019, 15:46

Per sbaglio ho risposto nell'altro topic. Come dicevo lì, questo è meno interessante. Piuttosto che calcolare primitive, cerca di calcolare integrali definiti, a mio avviso.
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Re: un altro integrale difficile

Messaggioda Lore.p98 » 11/01/2019, 17:31

Questo è abbastanza interessante, non ho mai visto una cosa del genere. Però questo è nulla in confronto all'esercizio facoltativo del mio esame di analisi 1 che ho dato ieri. Preparatevi perché è un assoluto mostro.

P.s. il primo 30 in analisi, spero non sia l'unico.
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Re: un altro integrale difficile

Messaggioda dissonance » 11/01/2019, 18:05

Complimenti per il 30! E adesso sono curioso di vedere questo mostro bruttissimo.
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Re: un altro integrale difficile

Messaggioda Lore.p98 » 12/01/2019, 00:52

Ecco il mostro
$int_(-1/3)^(1/3) sqrt(36 x^4-40x^2+4) cosh(3 x + tanh^(-1)(3x) - tanh^(-1)( x)) dx $
Nota: il risultato deve essere $\frac { 12+4 e ^{ 2 } }{ 9e }$
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Re: un altro integrale difficile

Messaggioda TeM » 12/01/2019, 13:29

Per quanto concerne la prima richiesta, data la funzione \(f : \left[-\frac{1}{7},\,\frac{1}{7}\right] \to \mathbb{R}\) di legge: \[ f(x) := \arccos\left(7\,x^2 - \sqrt{1 - 50\,x^2 + 49\,x^4}\,\right) \] segue che: \[ \int f(x)\,\text{d}x = x\,f(x) - \frac{\sqrt{50\,x^2 - 98\,x^4 + 14\,x^2 \sqrt{1 - 50\,x^2 + 49\,x^4}}}{7\,x} + c \] ove in prima istanza occorre integrare per parti e poi non vedo alternative all'ammazzarsi di conti nonsense.

Per quanto concerne la seconda richiesta, data la funzione \(g : \left(-\frac{1}{3},\,\frac{1}{3}\right) \to \mathbb{R}\) di legge: \[ g(x) := 2 \sqrt{1 - 10\,x^2 + 9\,x^4}\,\cosh\left(3\,x + \text{arctanh}(3\,x) - \text{arctanh}(x)\right) \] segue che: \[ \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} g(x)\,\text{d}x = \frac{4}{9}\,\frac{e^2 + 3}{e} \] ove in quest'altro caso, dato che mi pare ardua che la famiglia di primitive sia esprimibile in termini di funzioni
elementari, è altamente probabile che se ne esca escogitando qualche trucchetto alla Richard Feynman, facendo
riferimento al metodo di integrazione e derivazione rispetto a un parametro (da introdurre ad hoc nell'integrale).

Va da sé che quest'ultimo integrale sia di gran lunga più interessante rispetto al primo, anche se occorre pensarci
un po' e ora non ho tempo, se non avrà già risolto qualcun'altro nel frattempo ci penserò con calma stasera. :-)
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Re: un altro integrale difficile

Messaggioda Lore.p98 » 12/01/2019, 14:05

Per quanto possano sembrare assurdi gli integrali proposti negli esami, hanno sempre una risoluzione scorrevole senza calcoli complicati e tediosi. Tra l'altro non credo che ci sia bisogno di usare la tecnica di Leibniz di derivazione sotto il segno di integrale, resa famosa da Feynman che ne fece un uso frequente. Sicuramente la seconda funzione ha una famiglia di primitive esprimibili tramite funzioni elementari.
p.s penso di aver trovato la soluzione del primo
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Re: un altro integrale difficile

Messaggioda TeM » 12/01/2019, 14:47

@Lore.p98: si trattava di osservazioni maturate in breve tempo, nulla di assoluto! :smt023

Infatti, la valutazione fatta a bruciapelo sul secondo integrale proposto non è corretta, dato che: \[ g(x) = h(x) + h(-x) \] dove: \[ h(x) := \frac{\sqrt{1 - x}\,\sqrt{1 + 3\,x}}{\sqrt{1 + x}\,\sqrt{1 - 3\,x}}\,\sqrt{1 - 10\,x^2 + 9\,x^4}\,e^{3 x} \] e quindi ora risulta possibile determinare una famiglia di primitive in termini di funzioni elementari. :-)
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