Equazioni in un corpo finito

Messaggioda 3m0o » 12/01/2019, 14:24

Ho un dubbio su risoluzione di equazioni in un corpo a \( p \) elementi, con \( p \) numero primo. Ad esempio \( \mathbb{F}_5 \)
e risolvere \( x^2 + 2x + 2 = 0\)
I seguenti modi di risolverla sono tutti corretti oppure qualcuno di essi non lo è?
Metodo 1:
\( x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(2)}}{2}= \frac{3 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}= \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \)
E segue che
\( x_1 = 2 \) e \( x_2= 1 \),
ma \( \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 4}{2} \) e segue che \( x_1= \frac{-1}{2} =2\) e \( x_2 = \frac{3+4}{2} =1 \)

Metodo 2:
\( x^2 + 2x + 2 = x^2 +2x -3 = (x-1)(x+3)=0 \Rightarrow x_1 =-3=2 \) e \( x_2 = 1 \)

Metodo 3:
\( x^2 + 2x + 2 =(x+1)^2 +1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = -1 = 4 \) e \( x+1=2 \) oppure \( x+1=3 \) dunque \( x_1=2 \) e \( x_1=1\)

Nel senso tutti e tre i metodi mi danno gli stessi risultati, mi chiedevo però se uno di questi è formalmente sbagliato o non funziona sempre. Grazie mille.
3m0o
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Re: Equazioni in un corpo finito

Messaggioda otta96 » 12/01/2019, 15:15

Il secondo e il terzo vanno benissimo, ma il primo in alcuni casi potrebbe essere un problema fare le radici.
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Re: Equazioni in un corpo finito

Messaggioda Euclidino » 13/01/2019, 18:00

Tutti i metodi sono corretti. Il metodo 3 è uguale al metodo 1: devi trovare una radice quadrata.
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Re: Equazioni in un corpo finito

Messaggioda anti-spells » 15/01/2019, 17:26

In questo caso come si fa? Ho qualche dubbio:

(a) det. gli zeri di $x^2+x+1$ in $ZZ_2[x]$ . Secondo me non esistono, però boh mi sembra strano :roll:
(b) det MCD di $x^3+x^2+x$ e $x^4+x^3+x+1$ in $ZZ_2[x]$

Il primo posso scriverlo come $x(x^2+x+1)$ , il secondo come $(x^2+1)(x^2+x+1)$ quindi il MCD è $x^2+x+1$ ? Giusto? In generale si fanno tutti in questo modo o sbaglio?
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Re: Equazioni in un corpo finito

Messaggioda otta96 » 15/01/2019, 22:19

anti-spells ha scritto:(a) det. gli zeri di $x^2+x+1$ in $ZZ_2[x]$ . Secondo me non esistono, però boh mi sembra strano :roll:

E perché?

(b) det MCD di $x^3+x^2+x$ e $x^4+x^3+x+1$ in $ZZ_2[x]$

Il primo posso scriverlo come $x(x^2+x+1)$ , il secondo come $(x^2+1)(x^2+x+1)$ quindi il MCD è $x^2+x+1$ ?

Si perchè nessuno tra $x$ e $x^2+1$ divide l'altro.
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Re: Equazioni in un corpo finito

Messaggioda anti-spells » 15/01/2019, 22:51

otta96 ha scritto:
anti-spells ha scritto:(a) det. gli zeri di $x^2+x+1$ in $ZZ_2[x]$ . Secondo me non esistono, però boh mi sembra strano :roll:

E perché?

(b) det MCD di $x^3+x^2+x$ e $x^4+x^3+x+1$ in $ZZ_2[x]$

Il primo posso scriverlo come $x(x^2+x+1)$ , il secondo come $(x^2+1)(x^2+x+1)$ quindi il MCD è $x^2+x+1$ ?

Si perchè nessuno tra $x$ e $x^2+1$ divide l'altro.


Con perché intendi perché non esistono o perché mi sembra strano?

Mi sembrava strano perché a vedere che ne 0 ne 1 sono radici ci vuole un attimo, un esercizio troppo veloce

P.S. scusami se non rispondo nell'altro topic ma il tuo modo di farmi ragionare mi porta fuori dagli argomenti visti a lezione, sto cercando di capire come farlo usando quello che abbiamo visto in classe
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Re: Equazioni in un corpo finito

Messaggioda otta96 » 15/01/2019, 23:05

anti-spells ha scritto:Mi sembrava strano perché a vedere che ne 0 ne 1 sono radici ci vuole un attimo, un esercizio troppo veloce

Che c'entra ahahah :-D
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