Salve a tutti, ho questa forma differenziale
$(y/x^2+x^3y)dx -((x^5-4)/(4x) +y^3)dy$ devo vedere se è esatta, chiusa e calcolarne l'integrale lungo il segmento che congiunge $(1,1)$ a $(2,\pi)$.
Prima cosa devo dividere il dominio in due semplicemente connessi, cioè $x<0$ e $x>0$, ora se il segno meno lo distribuisco nella parentesi e verifico la chiusura mi viene $1/x^2+x^3=-x^3-1/x^2$ e quindi deduco che non è chiusa a meno di un segno al secondo membro. Se invece non lo considero mi viene chiusa e quindi anche esatta nei due domini.
Calcolo il potenziale $U(x,y)=(x^4y)/4-y/x+y^4/4$
$U(1,1)=-1/2$ mentre $U(2,\pi)=\pi^4/4+7/2\pi$
e quindi l'integrale lungo il segmento è $U(2,\pi)-U(1,1)=\pi^4/4+7/2\pi-1/2$
come devo comportarmi con il segno meno?