Forma differenziale domino semplicemente connesso localmente

Messaggioda emilianoo » 12/01/2019, 16:57

Salve a tutti, ho questa forma differenziale
$(y/x^2+x^3y)dx -((x^5-4)/(4x) +y^3)dy$ devo vedere se è esatta, chiusa e calcolarne l'integrale lungo il segmento che congiunge $(1,1)$ a $(2,\pi)$.

Prima cosa devo dividere il dominio in due semplicemente connessi, cioè $x<0$ e $x>0$, ora se il segno meno lo distribuisco nella parentesi e verifico la chiusura mi viene $1/x^2+x^3=-x^3-1/x^2$ e quindi deduco che non è chiusa a meno di un segno al secondo membro. Se invece non lo considero mi viene chiusa e quindi anche esatta nei due domini.
Calcolo il potenziale $U(x,y)=(x^4y)/4-y/x+y^4/4$
$U(1,1)=-1/2$ mentre $U(2,\pi)=\pi^4/4+7/2\pi$
e quindi l'integrale lungo il segmento è $U(2,\pi)-U(1,1)=\pi^4/4+7/2\pi-1/2$
come devo comportarmi con il segno meno?
emilianoo
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Re: Forma differenziale domino semplicemente connesso localmente

Messaggioda otta96 » 12/01/2019, 17:40

emilianoo ha scritto:$U(2,\pi)-U(1,1)=\pi^4/4+7/2\pi-1/2$

In realtà è $\pi^4/4+7/2\pi+1/2$.
Ma sei proprio sicuro che quel $-$ ci sia?
Perché se c'è il potenziale non va bene.
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Re: Forma differenziale domino semplicemente connesso localmente

Messaggioda emilianoo » 12/01/2019, 17:56

Si scusa ho dimenticato un segno meno, comunque si c'è il segno meno
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Re: Forma differenziale domino semplicemente connesso localmente

Messaggioda otta96 » 12/01/2019, 17:59

È un po' strano, comunque se è così quel potenziale (e di conseguenza il calcolo dell'integrale) non va bene.
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Re: Forma differenziale domino semplicemente connesso localmente

Messaggioda emilianoo » 12/01/2019, 18:06

Infatti ho scritto che non considerando il segno meno il calcolo era quello precedente, perchè una forma non chiusa non è nemmeno esatta e quindi l'integrale si riduce ad un integrale di seconda specie senza passare per il potenziale.
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Re: Forma differenziale domino semplicemente connesso localmente

Messaggioda fmnq » 12/01/2019, 19:18

Perché mai dovresti sentirti libero di trascurare una differenza di segno?
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Re: Forma differenziale domino semplicemente connesso localmente

Messaggioda emilianoo » 12/01/2019, 19:29

era una considerazione che ho fatto, nessuna libertà, infatti la mia richiesta è stata su cosa fare con il segno meno, concludere che non è esatta e calcolare l'integrale che è un procedimento più lungo?
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Re: Forma differenziale domino semplicemente connesso localmente

Messaggioda fmnq » 13/01/2019, 01:42

Osservato che la forma non è chiusa, l'integrale lungo un cammino dipende dal cammino; anche prendendo "il segmento" come riferimento per quale cammino vuoi usare, l'integrale dipende dalla parametrizzazione (nulla vieta di percorrere il segmento a velocità o accelerazione non costante, e siccome l'integrale di una forma non chiusa non è invariante per omotopia non lo sarà nemmeno per riparametrizzazioni).
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