Dubbio su sottospazio-vett.

[3m0o]

Sia \( V \) uno \(K \) spazio vettoriale e \( U_1 \), \( U_2 \) due sottospazi vettoriali di \( V \). Dimostra che \( U_1 \cup U_2 \) è un sottospazio vettoriale se e solo se \( U_1 \subset U_2 \) oppure \( U_2 \subset U_1 \).

Io ho dato questa dimostrazione (va bene?)
\( \Leftarrow \): Supponiamo, senza perdità di generalità, che \( U_1 \subset U_2 \) allora \( U_1 \cup U_2 = U_2 \) che per ipotesi è un sottospazio vettoriale di \( V \).

\( \Rightarrow \): Supponiamo che \( U_1 \cup U_2 \) sia un sottospazio vettoriale di \( V \), e supponiamo \( U_1 \not\subset U_2 \). Voglio dimostrare che \( U_2 \subset U_1 \).
Prendiamo due vettori \( v_1, v_2 \in U_1 \cup U_2 \) tale che \( v_1 \in U_1 \) e \( v_1 \not\in U_2 \) e \( v_2 \in U_2\)
Siccome, per ipotesi abbiamo che \( v_1 + v_2 \in U_1 \cup U_2 \) dunque \( v_1 + v_2 \in U_1 \) oppure \( v_1 + v_2 \in U_2 \) per la scelta di \( v_1 \) allora \( v_1 + v_2 \not\in U_2 \) perché altrimenti \( v_1 = (v_1 + v_2) - v_2 \in U_2 \) dunque \( v_1 + v_2 \in U_1 \) e siccome \( U_1 \) è stabile rispetto al \( + \) in quanto è un sottospazio vettoriale di \( V \) risulta che \( v_2 \in U_1 \). Per la scelta arbitraria di \( \forall u \in U_2 \) abbiamo che \( u \in U_1 \) dunque \( U_2 \subset U_1 \)

Invertendo i ruoli di \( U_1 \) e \( U_2 \), concludo la dimostrazione.

Mentre invece nelle correzioni dell'esercizio dice: che avendo dimostrato in precedenza un risultato analogo, ovvero che prendendo \( G \) un gruppo e \( H, K\) due sotto gruppi di \( G \). \( H \cup K \) è un sottogruppo di \( G \) se e solo se \( H \subset K \) oppure \( K \subset H \). E che applicando questo risultato a \( (V,+) \) e \( (U_1,+) \), \( (U_2,+) \) si è dimostrato l'enunciato. Io mi domando perché è sufficiente.
Nel senso supponendo \( U_1 \cup U_2 \) sottospazio vettoriale di \( V\) allora \( (U_1 \cup U_2, +) \) è un sottogruppo abeliano di \( (V,+) \) e questo implica \( U_1 \subset U_2 \) oppure \( U_2 \subset U_1 \).
Ma supponendo \( U_1 \subset U_2 \) oppure \( U_2 \subset U_1 \), allora \( (U_1 \cup U_2, +) \) è un gruppo abeliano, ma potrebbe, a priori, non essere un sottospazio vettoriale di \( V \), infatti dovrebbe anche soddisfare tutti gli altri assiomi di un sottospazio vettoriale, o sbaglio?

[Bokonon]

Ok, non sono un raffinato teorico (a dir poco), ma se uno spazio è vettoriale e il secondo è contenuto nel primo l'unione da il primo, quindi è vettoriale. Dico male?
Quindi piuttosto passerei ad un controesempio. Per esempio due spazi vettoriali ortogonali. Dimostrare che l'unione non è uno spazio vettoriale dovrebbe essere semplice usando la definizione stessa.

[otta96]

Ma supponendo \( U_1 \subset U_2 \) oppure \( U_2 \subset U_1 \), allora \( (U_1 \cup U_2, +) \) è un gruppo abeliano, ma potrebbe, a priori, non essere un sottospazio vettoriale di \( V \), infatti dovrebbe anche soddisfare tutti gli altri assiomi di un sottospazio vettoriale, o sbaglio?

Hai ragione.

[fmnq]

Prendi due rette generate da vettori linearmente indipendenti, diciamo \(r : \langle v\rangle\) e \(s : \langle w\rangle\); se $r\cup s$ fosse uno spazio vettoriale dovrebbe contenere $v+w$, cosa che non fa (dovrebbe essere che $v+w=au$, assurdo perché allora $w$ è linearmente dipendente da $u$, oppure $v+w=bw$, assurdo per la stessa ragione a ruoli invertiti).

Il caso generale si fa nello stesso modo.