Dopo fiumi di sangue e lacrime sono arrivato a una soluzione.
A voi, posteri!
pilloeffe ha scritto:Perché ti sta mettendo in difficoltà? Si tratta di una normale disequazione irrazionale, che si può scrivere facilmente nella forma seguente:
$ \sqrt{f(x)} <= g(x) $
ove $ f(x) := x + 9 $ e $ g(x) := \frac{x - 3}{x + 1} $, che si risolve col consueto sistema di disequazioni. Che cos'è che non riesci a fare?
Così non mi torna. In questo modo dovrei trasformare la disequazione in $x-3 >= (x+1)*sqrt(x+9)$, ma poi non posso semplicemente dividere per $(x+1)$ ignorandone il segno.
La soluzione che ho adottato è questa:
Data la disequazione $ (x-3)/sqrt(x+9)>=x+1 $
Studio la condizione di esistenza: C.E. $x> -9 $.
Studio i segni di $(x-3)$ e di $(x+1)$ per identificare le casistiche da analizzare.
Le casistiche risultanti sono tre:
1. Con $x<=-1$: $(x-3)$ e di $(x+1)$ sono entrambe negative,
2. Con $-1<x<3$: $(x-3)$ è negativa mentre $(x+1)$ è positiva,
3. Infine, con $x \ge3$ sono entrambe positive.
Creo un sistema per ogni caso.
S1:\begin{cases}
x \leqslant -1 \\
\frac{(3-x)}{\sqrt{x+9}}\geqslant -x-1
\end{cases}
S2:\begin{cases}
-1<x < 3 \\
\frac{(x-3)}{\sqrt{x+9}} \geqslant x+1
\end{cases}
ma questo sistema sarà sicuramente falso perché, in questo caso, il valore di sinistra della disequazione sarà negativo, mentre quello di destra sarà positivo.
Infine
S3:\begin{cases}
x \geqslant 3\\
\frac{(x-3)}{\sqrt{x+9} }\geqslant x+1
\end{cases}
Per risolverle le disequazioni elevo tutto al quadrato.
Il risultato dell'unione dei sistemi lo metto a sistema con la condizione di esistenza:
\begin{cases}
x<-9 \vee x=-5\\
x>-9
\end{cases}
Il risultato è $x = -5$, yeee.