@fmq:grazie per aver risposto.
Allora per provare a dimostrare la prima affermazione, penso di fare così:
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Sia $n=dim(V)$ e sia $ \Gamma$ un insime di cardinalità $n$. Sia ${v_1,...,v_n}$ una base su $V$ e sia ${k_1,...,k_n}$ una base di $K^n$.Sia $ \phi$ un omomorfismo da $V$ a $K^n$, si vuole dimostrare che $\phi$ è un isomorfismo. Per iniziare dimostriamo che è un monomorfismo, e questo è semplice da vedere, infatti se poniamo $k_i= \phi(v_i)$, allora risulta ovvio che il $ker(\phi)={0}$, inoltre da questa osservazione è banale vedere che $\phi$ è un epimorfismo e quindi $\phi$ è un isomorfismo (ho omesso i dettagli perché mi sembravano abbastanza semplici).
per la seconda penso di fare così:
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Prima da quello che so $R/I$ posso vederlo come un $R$-modulo, infatti per definizione è un anello (e quindi un gruppo abeliano sotto l'addizione), inoltre posso prendere un'appliazione binaria da $R xx R/I$ a $R/I$ che soddisfa facilmente gli assiomi.
Per quanto riguarda la dimostrazione, pensavo di provare la "contropositiva" e quindi mi basta trovare un insieme che renda $R^(\Gamma)$ isomorfo a al quoziente tra $R$ e i suoi ideali banali. Per fare questo penso che basta prendere $\Gamma=\emptyset$ e $\Gamma={\emptyset}$, giusto?
per dimostrare la terza ho fatto così:
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Dato che la cardinalità di un sottomodulo di $ZZ$ dovrebbe essere compresa tra $0$ e $\aleph_0$, penso basti prendere per $\Gamma$ un qualunque insieme infinito, giusto?