anto_zoolander ha scritto:Ciao!
Per $f(x),g(x)->0$ per $x->+infty$ si ha
$(1+f(x))^k-1 ~ kf(x)$ e $arctan(g(x))~ g(x)$
Usa queste due informazioni.
Ciao! Ti ringrazio per avermi risposto così velocemente, oggi ho ripreso questo limite che ieri non riuscivo a risolvere e utilizzando il tuo spunto forse sono giunto ad una conclusione, spero corretta:
Il limite all'inizio si presenta in una forma indeterminata del tipo $0/0$; Per risolverlo allora, come suggerito applico alcune stime asintotiche per semplificare il calcolo:
Numeratore:
Sappiamo che $(1+f(x))^a -1 ~ a*f(x)$ dunque se $f(x)=sin(sin(1/x))$ ottengo: $5[sin(sin(1/x))]$; Poi sapendo che $sin(h(x)) ~ h(x)$ se $h(x)->0$ e $h(x)$ definitivamente positiva.
Quindi avrò: $sin(sin(1/x)) ~ sin(1/x) ~ 1/x$; il numeratore tende a: $5*(1/x)$
Denominatore:
Al denominatore, invece, sapendo che $arctan(g(x)) ~ g(x)$ avrò che: $arctan((2x)/(x^2+1)) ~ (2x)/(x^2+1)$ raccolgo $x^2$ al denominatore: $(2x)/(x^2(1+(1/x^2))) rArr 2/(x(1+(1/x^2))) ~ 2(1/x)$ perchè $1/x^2rarr0$
Quindi il limite iniziale si riduce al calcolo del seguente limite: $lim(x->+oo )(5*(1/x))/(2*(1/x))$ semplificando $(1/x)$ ottengo: $5/2$