Integrale Doppio

[UniAnalisi]

Buonasera. Ho svolto questo esercizio ma non avendo i risultati non saprei se è svolto in maniera corretta. Potreste dirmi se ho fatto qualche errore? Grazie in anticipo.

Calcolare il baricentro

$ D={(x,y)in R^2: x+y>=1, x^2+y^2<=1} $

Graficamente mi è venuto questo:



(chiedo scusa se ho usato questa immagine ma non mi funzionano i comandi del sito)

Utilizzo le coordinate polari.

$ D'={(rho,theta)in R^2: 0<= rho<=1, 0<= theta<=pi/2 } $

$ m(D)=int int_(D)^() dx dy =$ $ int_(0)^(1) rhodrhoint_(0)^(pi/2) d theta = pi/2 int_(0)^(1)rho d rho = pi/4[rho ^2]_(0)^(1)=pi/4 $

$ x_0=1/(m(D)) int int_D xdxdy=4/pi[int_(0)^(1) rho^2drho int_(0)^(pi/2) costhetad theta= $ $ 4/pi[int_(0)^(1) rho^2drho [sentheta]_(0)^(pi/2)] = 4/pi[int_(0)^(1) rho^2drho] = 4/(3pi) $

$ y_0=1/(m(D))int int_D ydxdy= 4/pi[int_(0)^(1) rho^2drho int_(0)^(pi/2) sentheta d theta]= $ $ 4/pi[int_(0)^(1) rho^2drho [-costheta]_(0)^(pi/2)]= 4/(3pi) $

Ho commesso errori oppure è svolto correttamente?? Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao UniAnalisi,

Così ad occhio mi pare errato, perché dalla figura che hai riportato $m(D) $ si può ricavare elementarmente:

$m(D) = 1/4 \pi - \frac{1 \cdot 1}{2} = \frac{\pi - 2}{4} $

[UniAnalisi]

Non mi trovo scusa. Non devo risolvere quell'integrale per trovarmi l'area?

[pilloeffe]

Prova a dare un'occhiata a $D$:

$D := \{(x,y) \in \RR^2: x+y >= 1, x^2+y^2 <=1 \} $

Si tratta dello "spicchio" compreso fra l'equazione della circonferenza di raggio $1$ e la retta $y = - x + 1 $: quindi la sua superficie si può ricavare facendo la differenza fra $1/4 \pi \cdot 1^2 $ ed il triangolo rettangolo nell'origine $O$ avente base $1$ ed altezza $1$, per cui si trova ciò che ti ho già scritto nel post precedente.

[UniAnalisi]

Si ho capito. Quindi penso che mi conveniva svolgere l'integrale in coordinate cartesiane e non in quelle polari, anche perchè ho commesso un errore sulle variabili di integrazione, con $ 0<=rho<=1 $ sto considerando tutta la superficie $ 1/4pi $ mentre a me serviva solo lo spicchio in alto. Provo a svolgerlo diversamente allora, grazie mille per l'aiuto