Radici numero complesso

[Salvy]

Salve ragazzi, per trovare la radice sesta di 8i, c'è un modo diverso dal classico (per classico intendo l'applicazione della formula per le radici n-esime) ?

[pilloeffe]

Ciao Salvy,

Il metodo più rapido mi pare quello esponenziale:

$\root[6]{8i} = \root[6]{2^3} \cdot \root[6]{i} = \root[6]{2^3} \cdot \root[6]{e^{i(\pi/2 + 2k\pi)}} = \sqrt{2} e^{i(\pi/12 + k\pi/3)} $

ove $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 $ (poi le soluzioni si ripetono).

[Salvy]

E se devo trovare ad esempio la radice che ha parte reale -1 , quale metodo conviene( nel caso in cui mi ritrovassi davanti a 4 risposte)?quindi un metodo che mette in evidenza la parte reale subito...

[gugo82]

Beh, ricavarsi i sei valori di \(\sqrt{2} \cos \frac{(4k+1)\pi}{12}\) per $k=0,... ,5$ non mi pare un conto proibitivo da fare.

[pilloeffe]

Si ha parte reale uguale a $- 1$ solo per $k = 2 $:

$z_2 = \sqrt{2} e^{i(\pi/12 + 2\pi/3)} = \sqrt{2} e^{i (3\pi)/4} = \sqrt{2}[cos((3\pi)/4) + i sin((3\pi)/4)] = \sqrt{2}[-sqrt{2}/2 + i sqrt{2}/2] = - 1 + i $