Funzione olomorfa, definizione

[wsualfredo]

Sera a tutti,

avrei un dubbio legato alla definizione di funzione olomorfa:

1)
Una f è olomorfa in $A$ (aperto) contenuto in $CC$ se f(z) è olomorfa per ogni $z\inE$

f è olomorfa in $z_0$ se esiste un cerchio di z0 tale che $f(z)$ derivabile per ogni z all'interno di tale cerchio

2)
f è olomorfa su un insieme se è derivabile in ogni punto del suo insieme di definizione (aperto) A. Si dice inoltre che f è olomorfa nel punto $z_0$ se è olomorfa in qualche intorno del punto.
(che poi è quella di wikipedia: https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_olomorfa )

Mi sembrano un po' diverse... infatti la prima richiede una derivabilità per ogni punto all'interno di un cerchio centrato in z0, ed è olomorfa su un insieme A se è olomorfa per ogni centro "z" che scelgo in A.
La seconda richiede $f$ che sia derivabile in ogni punto dell'insieme A (condizione per essere olomorfa su A), se poi scelgo un punto z0 in A tale percui posso definire un sottoinsieme (in particolare un intorno di centro z0) per cui in ogni punto al suo interno è derivabile, allora si parla di "olomorfa nel punto".

Grazie per gli aiuti

[gugo82]

In realtà si dimostra che sono equivalenti... Ma per iniziare la teoria si assume (usualmente) una definizione più forte di quello che serve.

[wsualfredo]

Grazie mille mi hai tolto un grande dubbio, ma essendo novizio dei metodi matematici per la fisica, qualle delle due ritieni migliore ("più forte") per questo livello?

Buona serata

[gugo82]

Aspetta un po’ però... Quelle che hai riportato sono la stessa definizione, solo scritte (entrambe male) con termini diversi.

In quello che segue $Omega subseteq CC$ è aperto ed $f:Omega-> CC$. Come noto, la funzione a valori complessi $f(z)$ di una variabile complessa $z=x+iy$ si può (canonicamente) riguardare come una funzione di $Omega$ (pensato come aperto in $RR^2$) in $RR^2$, i.e. come una trasformazione piana: ciò si fa sostituendo $z=x+iy$ in $f(z)$ e separando il reale dall’immaginario. Si ottiene così una coppia di funzioni reali $u(x,y), v(x,y)$ delle due variabili reali $(x,y) in Omega$.

Fatta questa premessa necessaria per introdurre le notazioni, le definizioni cui mi riferivo io sono le seguenti (ordinate dalla più forte a quella più debole):

La $f$ è olomorfa in $Omega$ se $u,v in C^1(Omega)$ (in senso reale) e se le uguaglianze:
\[ \tag{CR}
\begin{cases} u_x(x,y) = v_y(x,y) \\
u_y(x,y) = -v_x(x,y)
\end{cases}
\]
(dette condizioni di Cauchy-Riemann)¹ valgono per ogni $(x,y) in Omega$.

La $f$ è olomorfa in $Omega$ se per ogni $z_0 in Omega$ esiste finito il limite complesso:
\[
\lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} =: f^\prime (z_0) \in \mathbb{C}
\]
e se la funzione $f^\prime : Omega -> CC$ è continua in $Omega$, i.e. se $f^\prime in C(Omega)$.²

[N.B.: Qui interviene la derivata complessa di $f$, definita (come nel caso reale) quale limite finito del rapporto incrementale.
Questa definizione è, tuttavia, facilmente dimostrabile equivalente alla precedente.]

La $f$ è olomorfa in $Omega$ se $f in C(Omega)$, se $u$ e $v$ sono differenziabili (in senso reale) in $Omega$ e se le (CR) valgono per ogni $(x,y) in Omega$.

[N.B.: Questa definizione è più debole della prima, poiché il requisito “$u,v in C^1(Omega)$” è rimpiazzato dal meno stringente “$u,v in C(Omega)$ e differenziabili in $Omega$”. Infatti è noto (o dovrebbe esserlo) da Analisi II che “$u in C^1$“ implica “$u$ differenziabile”, ma in generale non vale il viceversa.]

La $f$ è olomorfa in $Omega$ se $f in C(Omega)$ (continua rispetto alla variabile complessa), se $u$ e $v$ sono (parzialmente) derivabili in $Omega$ (rispetto alle variabili reali) e se le (CR) valgono per ogni $(x,y) in Omega$.

[N.B.: Questa è più debole della precedente, poiché il requisito “$u,v$ differenziabili in $Omega$” è rimpiazzato dal meno stringente “$u,v$ derivabili in $Omega$”. Infatti è noto da Analisi II che esistono funzioni derivabili ma non differenziabili.
L’equivalenza tra questa definizione e quella iniziale è il cosiddetto Teorema di Looman–Menchoff.]

La $f$ è olomorfa in $Omega$ se $f$ è limitata intorno ad ogni punto di $Omega$ (in senso complesso)³, se $u$ e $v$ sono (parzialmente) derivabili in $Omega$ (rispetto alle variabili reali) e se le (CR) valgono per ogni $(x,y) in Omega$.

[N.B.: Questa è più debole della precedente, poiché il requisito “$f$ continua in $Omega$” è rimpiazzato dal meno stringente “$f$ localmente limitata in $Omega$”. Infatti è noto da Analisi I che ogni funzione continua è localmente limitata, ma anche che non vale il viceversa (poiché esistono funzioni localmente limitate ma non continue).
L’equivalenza di questa definizione con quella iniziale è il cosiddetto Teorema di Montel.]

Poi, se non erro, le richieste possono essere ulteriormente indebolite... Vado a memoria (il che è una cosa pessima, visto che non mi occupo di queste cose da anni), ma mi sembra di ricordare che la derivabilità si può richiedere anche solo quasi ovunque in $Omega$ e che si possano indebolire ancora di più le ipotesi su $f$.
Ma ora non trovo riferimenti, mi spiace.

Infine, per tornare a te: all’inizio è meglio usare la prima o la seconda delle definizioni che ho proposto, perché sono quelle che danno più agio nei calcoli.

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Note

1. Le (CR) si possono scrivere in varie salse: ad esempio, facendo intervenire le due derivate parziali di $f$ rispetto alle due variabili reali $x$ ed $y$, oppure la “derivata parziale” di $f$ rispetto a $bar(z)$... Ma, a parte possibili riscritture, la definizione proposta si legge sempre alla stessa maniera: “Una funzione è olomorfa in un aperto se: 1 è ivi di classe $C^1$ e 2 soddisfa le (CR)”. ↑
2. Come nel caso reale, ciò si può esprimere anche dicendo che $f in C^1(Omega)$. ↑
3. Il che significa che per ogni $z_0 in Omega$ esistono un disco $D(z_0;r) subseteq Omega$ ed una costante $M>=0$ tali che $| f(z) | <= M$ per ogni $z in D(z_0;r)$. ↑

[wsualfredo]

Gracias