Strano Polinomio interpolante

Messaggioda dRic » 16/01/2019, 18:30

Ciao, mi sono imbattuto in una strana definizione di polinomio interpolante (strana per me perché non riesco a "decifrarla", ma magari è famosissima). Il problema principale è che la definizione, con tanto di proprietà viene fornita senza alcuna spiegazione e tantomeno senza un nome da poter cercare. Se qualcuno la riconosce e potesse darmi qualche riferimento per capire un po' meglio gliene sarei davvero grato.

Piccola precisazione sulla notazione (da quello che ho capito):
- ho $N$ coppie di punti $(x_j, y_j)$; quindi $y_j$ o $x_j$ da soli si riferiscono alle coordinate dei punti
- con $y$ viene indicata la "vera" funzione (quella che ci si aspetterebbe generi i punti da interpolare).

Il polinomio interpolante può essere definito come $$\Pi_h^r(x) = \sum_{j=0}^N y_j l_j^r(x)$$ dove $I_j^r(x)$ è un funzione di base lagrangiana (CHE ROBA E'?) di grado r. Queste funzioni si possono definire per punti come (caso $r=1$) $I_j^1(x)$ =\begin{cases} 0, & \mbox{se } x \neq x_j \\ 1, & \mbox{se } x = x_j
\end{cases}

(NON CAPISCO QUESTA DEFINIZIONE)

Nel caso di funzioni lagrangiane di grado 1 avremo delle funzioni come in figura (sono delle rette... :? :? )
[...]

Vale
$$|| y - \Pi_h^r ||_{\infty} \le Ch^{r+1}||y^{(r+1)}||_{\infty} = O(h^{r+1})$$
(...penso che $C$ sia una costante e che $y^{(r+1)}$ sia la derivata r+1-esima...)


Grazie in anticipo
Ric
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Re: Strano Polinomio interpolante

Messaggioda feddy » 16/01/2019, 18:36

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Re: Strano Polinomio interpolante

Messaggioda dRic » 16/01/2019, 18:43

Si l'avevo vista la pagina e mi sono accorto della somiglianza, ma non riesco a capire da dove salta fuori quella formula
dRic
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Re: Strano Polinomio interpolante

Messaggioda feddy » 16/01/2019, 18:51

Il j-esimo polinomio interpolatore di Lagrange è definito come $l_j(x)=\prod_{m \ne j} \frac{x-x_m}{x_j-x_m}$. Quindi, per come è definito vale che $l_j(x_j)=1$ e $l_j(x_i)=0$ se $j \ne i$.
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Re: Strano Polinomio interpolante

Messaggioda dRic » 16/01/2019, 19:01

Si ok, ma in questo caso se $x$ non è uno dei punti da interpolare ho effettivamente un polinomio. Nella prima definizione che ho dato a me sembra una funzione che può essere solo $1$ o $0$...
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Re: Strano Polinomio interpolante

Messaggioda feddy » 16/01/2019, 19:39

No, non è così infatti. Deve essere un errore di trascrizione
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Re: Strano Polinomio interpolante

Messaggioda dRic » 16/01/2019, 23:51

Ah ok. Allora tutto torna. Quella roba è sbagliata per forza.
dRic
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