Mi trovo di fronte ad un bel problemino che sto cercando di capire come risolvere.
\(\displaystyle f \in \mathcal{C}^{(2)} (-1,1) \) ed inoltre \(\displaystyle \sup_{x\in (-1,1)}|f(x)|\leq 1 \), allora \(\displaystyle \exists \alpha \) tale che \(\displaystyle |f'(0)|>\alpha \Rightarrow f''(x) \) ha almeno una radice in \(\displaystyle (-1,1) \).
Idea grezza: esagerando con la pendenza locale in \(\displaystyle x=0 \) c'è necessariamente bisogno di ridurla con un cambio di segno della derivata seconda, per non sforare il tetto imposto dal \(\displaystyle \sup \) in \(\displaystyle (-1,1) \). Siccome poi \(\displaystyle f'' \) è continua, tale cambio di segno deve essere graduale, passando quindi obbligatoriamente per lo \(\displaystyle 0 \).
Seguendo questa idea di fondo, ho pensato di sviluppare $f$ in $(-1,1)$ secondo Taylor con resto di Lagrange, perché vengono rispettate le ipotesi per farlo. Quindi:
$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(\xi )}{2}x^2$$
che vale \(\displaystyle \forall x \in (-1,1) \) poiché $\xi$ (\(\displaystyle |\xi |<|x| \)) si adatta a seconda del punto $x$ dove calcolo $f(x)$.
A questo punto avevo pensato di procedere per assurdo, ipotizzando che esista una funzione, la cui derivata seconda \(\displaystyle f''(x) \) non abbia radici in $(-1,1)$ (dunque $f'$ sempre crescente o sempre decrescente) e trovando almeno un \(\displaystyle x_0 \in (-1,1) \) per il quale \(\displaystyle f(x_0)>1 \) oppure \(\displaystyle f(x_0)<-1 \).
Ma qui c'è una cosa strana che non riesco ancora bene a chiarire. Pare che io possa farlo anche senza tenere in conto questa ipotesi assurda, poiché prendendo per esempio \(\displaystyle x_0=\frac{1}{2} \) ottengo:
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=f(0)+\frac{f'(0)}{2}+\frac{f''(\xi )}{8}\quad\quad (1)$$
dove \(\displaystyle \xi \in \left(0,\frac{1}{2}\right) \).
Dunque basta prendere una funzione qualsiasi per la quale risulti:
\(\displaystyle f'(0)>2\left(1-f(0)-\frac{f''(\xi )}{8} \right) \)
ed è fatta, poiché si ha che $f\left(\frac{1}{2}\right)>1$.
Direi che forse il problema sta nel fatto che $\xi$, oltre a dipendere dal punto dello sviluppo e dal punto di valutazione (che qui sono entrambi fissati e pari rispettivamente a \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle \frac{1}{2} \)) dipende anche da come è fatta $f$. Non ne sono certo comunque.
Includendo nel discorso l'ipotesi fatta per assurdo invece, si può ripartire da (1) e, analizzando prima il caso assurdo in cui \(\displaystyle f'' \) sia sempre positiva, fare così:
\(\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=f(0)+\frac{f'(0)}{2}+\frac{f''(\xi )}{8} > f(0)+\frac{f'(0)}{2}\geq 1 \)
quando \(\displaystyle f'(0)\geq 2(1-f(0)) \), violando l'ipotesi sul \(\displaystyle \sup \).
Analogamente se \(\displaystyle f'' \) sempre negativa:
\(\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=f(0)+\frac{f'(0)}{2}+\frac{f''(\xi )}{8} < f(0)+\frac{f'(0)}{2}\leq -1 \)
quando \(\displaystyle f'(0)\leq -2(1+f(0)) \).
Ci sono problemi o inesattezze nel mio percorso?
Grazie in anticipo.