limite all'infinito con taylor

[Jaeger90]

Salve. Nello studio di una funzione, in particolare la q di un asintoto obliquo, mi son imbattuto in un limite "particolare".

$q=\lim_{x \to \infty} root(3)((x(x^2-1)))-x $
Mi son ricondotto alla forma
$q=\lim_{x \to \infty} x*( root(3)(1-1/x^2)-1) $
Ora ho effettuato un cambio di variabile per poter utilizzare taylor in y=0
$y=1/x^2$
e son arrivato a
$q=\lim_{x \to \infty} x * \lim_{y \to 0} (1+1/3y-1/9y^2+o(y^2)-1)$

A questo punto ho letto in rete che, a quanto ho capito, posso eliminare $-1/9y^2$ in quanto ha coefficiente maggiore rispetto a quello con coefficiente minimo ($1/3y$), anche se non ho trovato nulla di simile sul mio libro.
Ho quindi sostituito nuovamente la y con il suo valore originale, e sono arrivato a

$q=\lim_{x \to \infty} x*( -1/(3x^2)+o(-1/x^2)) $

E qui mi son fermato, non sapendo come andare avanti.

Ne sfrutto l'occasione per chiedere, dato che su alcuni limiti si può applicare la gerarchia degli infiniti e infinitesimi su alcune frazioni, è quindi possibile fare procedimenti analoghi per prodotti?

Grazie in anticipo.

[pilloeffe]

Ciao Jaeger90,

Mi sa che hai fatto calcoli un po' inutili, perché si vede subito che si ha:

$ \lim_{x \to \pm \infty} root[3]{x(x^2-1)} - 1 = \pm \infty $

con ovvio significato dei simboli.

[dissonance]

Condivido ciò che dice pilloeffe, quei conti sono inutili. In ogni caso, il mischiare la $x$ e la $y$ è un ottimo sistema per sbagliare. Una volta che hai cambiato variabile, cambiala ovunque; se sei passato dalla $x$ alla $y$, la $x$ deve sparire.

[Jaeger90]

Scusate, nello scrivere qui ho fatto un po' di errori. Ho corretto il post con i calcoli effettivi.
In questo caso trasformare anche il primo limite in y credo sia uno spreco di tempo dato che poi la y torna comunque alla x anche nell'altro limite separato.
Infatti il mio libro riporta proprio come ultimo passaggio quello che ho scritto io all'ultimo rigo (con variabile x), e poi da risultato 0, ma non so in base a cosa.
Inoltre sarebbe utile un chiarimento sul perchè il termine in $1/9y^2$ debba scomparire.
Grazie.

[pilloeffe]

Beh, così come l'hai corretto è praticamente un limite notevole:

$ q = \lim_{x \to \infty} x(root[3](1-1/x^2)-1) = - lim_{x \to \infty} frac{root[3](1-1/x^2)-1}{-1/x^2}\cdot 1/x = - 1/3 \cdot 0 = 0 $

[Jaeger90]

Beh, così come l'hai corretto è praticamente un limite notevole:

$ q = \lim_{x \to \infty} x(root[3](1-1/x^2)-1) = - lim_{x \to \infty} frac{root[3](1-1/x^2)-1}{-1/x^2}\cdot 1/x = - 1/3 \cdot 0 = 0 $

Grazie, non ci avevo pensato!

Tuttavia il professore preferisce che venga utilizzato taylor e che si arrivi a
$q=\lim_{x \to \infty} x*( 1 -1/(3x^2)+o(-1/x^2)-1) $

e in questo caso non so come svolgere quest'ultimo passaggio.

[pilloeffe]

Grazie, non ci avevo pensato!

Prego!

Tuttavia il professore preferisce che venga utilizzato taylor [...]

Mah, io onestamente queste fisime le comprendo poco...
Comunque è uguale, se moltiplichi tutto per $x $ ottieni $x - x $ più termini che tendono a zero per $x \to \infty $, per cui si conferma che il risultato è $ q = 0 $

[Jaeger90]

Ah basta moltiplicare la x anche nell'o piccolo prima di dare il limite, quindi esce
$q=\lim_{x \to \infty} -1/(3x)+o(-1/x) $.
A questo punto il termine principale esce 0, ma che fine fa l'o piccolo nel limite? Cioè come si operano i limiti con gli o piccoli?

Inoltre davvero non capisco perchè il termine $-1/9y^2$ scompaia, essendo comunque di grado pari al grado dell'o piccolo.

E per ultimo, la domanda che avevo fatto all'inizio:
Su alcuni limiti si può applicare la gerarchia degli infiniti e infinitesimi su alcune frazioni, è quindi possibile fare procedimenti analoghi per prodotti?

[pilloeffe]

A questo punto il termine principale esce 0, ma che fine fa l'o piccolo nel limite? Cioè come si operano i limiti con gli o piccoli?

Inoltre davvero non capisco perchè il termine $−1/9y^2 $ scompaia, essendo comunque di grado pari al grado dell'o piccolo.

Dalle tue domande mi pare di capire che non hai ben chiaro il significato di $o$, per cui ti invito ad andarti a rivedere la relativa parte di teoria...
Per quanto riguarda il termine $−1/9y^2 $ poi esso "scompare" perché, dato che hai posto $y = 1/x^2 $, risulta un $o$ di ...... (completa), che moltiplicato per $x$ diventa un $o$ di ........ (completa) e pertanto è "inglobato" nell'$o(1/x) $ (a proposito, negli $o$ non si mettono i segni)

[Jaeger90]

Ho rifatto i calcoli e mi esce

$q=\lim_{x \to \infty} x * (1-1/(3x^2)+1/(9x^4)+o(1/x^4)-1)$

Quindi il termine $1/(9x^4)$ non dovrebbe venir inglobato. Non so dove sbattere la testa.