Massimi e minimi relativi, 2 variabili

Messaggioda Ladyhawke » 19/01/2019, 19:23

$ f\left(x,y\right)=x^3+y^3-3axy $
studiare per a diverso da 0 ed a uguale a 0
$ \frac{d}{dx}\left(x^3+y^3-3axy\right)=3x^2-3ay $ =0
$ \frac{d}{dy}\left(x^3+y^3-3axy\right)=3y^2-3ax $ =0

Sono questi i punti che ottengo?
P1( $ \sqrt{ay} $ ,0)
P2 (- $ \sqrt{ay} $ ,0)
P3(0,0)
P4 (??, $ \sqrt{ay} $)

Poi calcolo le f''xx f''yy e inserisco nell'hessiana?

Grazie in anticipo
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Re: Massimi e minimi relativi, 2 variabili

Messaggioda feddy » 19/01/2019, 19:56

Sommando membro a membro il sistema $\nabla (f)= 0$ da te impostato, trovi che le soluzioni stanno sulla curva $\mathcal{C}$ di equazione $x^2+y^2-ax-ay=0$, che è ovviamente una circonferenza di centro $(-\frac{a}{2},-\frac{a}{2})$ e raggio $r_a=\frac{|a|}{\sqrt{2}}$. Nel caso $a=0$, banalmente hai $(x,y)=(0,0)$, che è uno dei punti da te trovati.
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Re: Massimi e minimi relativi, 2 variabili

Messaggioda Ladyhawke » 19/01/2019, 20:10

Mi scusi, potrebbe esplicitare i passaggi?
Non mi è chiaro perchè si ottiene un solo punto e quali considero max e min relativi.
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Re: Massimi e minimi relativi, 2 variabili

Messaggioda feddy » 19/01/2019, 20:14

Non darmi del Lei, sono uno studente come te! :)

Io ho fatto il caso $a=0$, e ho trovato quello che hai chiamato $P_3$ nel tuo primo post. Il mio era un approccio diverso. Ovvio che puoi risolvere il sistema esplicitamente come hai iniziato a fare te, controlla però i punti che hai trovato. Comunque, una volta trovati i punti correttamente, basta utilizzare il metodo dell'Hessiano come hai scritto all'inizio.
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Re: Massimi e minimi relativi, 2 variabili

Messaggioda Ladyhawke » 19/01/2019, 20:26

Ho dubbi proprio nell'individuazione dei punti in entrambi i casi proposti. mi puoi aiutare?
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Re: Massimi e minimi relativi, 2 variabili

Messaggioda feddy » 19/01/2019, 20:47

Per $a \ne 0$, dalla prima equazione ricavi $y=\frac{x^2}{a}$, e inserendo questo nella seconda: $\frac{x^4}{a^2} -ax=0$, cioè $x^4-a^3x=0$, cioè $x(x^3-a^3)=0$. Per $x=0$ trovi ancora $y=0$, altrimenti è $x=a$, e quindi $y=a$
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Re: Massimi e minimi relativi, 2 variabili

Messaggioda Ladyhawke » 19/01/2019, 22:24

Quindi trovo solo P(0,0) ; P(a,a)?
Faccio le f'' e dall'hessiano ottebgo una sella per (0,0) e un min per (a,a) ,giusto?
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Re: Massimi e minimi relativi, 2 variabili

Messaggioda feddy » 20/01/2019, 03:14

Non ho fatto i conti. Comunque sì, costruisci la matrice Hessiana, e utilizza il metodo che ti hanno insegnato. A occhio mi pare giusto comunque
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