Dfficoltà con un problema di massimi e minimi

[ZfreS]

Ho un problema da risolvere con massimi e minimi e chiede di trovare il volume massimo di una scatola quadrata con lato di $1m$.
Il lato del quadrato diventa allora $1-2x$ visto che bisogna trogliere un pezzettino $x$ da una parte e dell'altra del lato del quadrato. Quindi il volume dovrebbe essere $(1-2x)^3$ e invece il libro lo indico con $x(1-2x)^2$. Quel che non capisco è perhè moltiplica per x. Potreste aiutarmi per favore?

[Philipp]

Ciao, forse non hai ben chiaro il testo del problema: da quanto mi è sembrato di capire, si richiede quale sia la scatola di volume maggiore (senza coperchio) che è possibile ottenere da un foglio quadrato di lato $1m$.
In pratica dal quadrato in questione ritagli una figura simile a quella azzurra nell'immagine in allegato, che ha per base un quadrato di lato $1-2x$ e poi "ripieghi" le alette laterali ottenendo una scatola di altezza $x$.
A questo punto il volume del tuo parallelepipedo, calcolato come prodotto tra area di base e altezza, è $V=x(1-2x)^2$ come correttamente indicato dal tuo testo.

[ZfreS]

Ah ecco ok, adesso ho capito. Grazie tante!

[ZfreS]

Potresti aiutarmi con questo problema?
Considera l parabole di equazioni $y=9x^2-8x$ e $y=-9x^2+10x$ e indica con $P$ il loro punto comune diverso dall'origine. Nella regione finita delimitata dalle due parabole traccia la retta $x=a$ che intersreca la parabola in $Q$ e $R$. Trova per quale valore di $a$ l'area del triangolo $PQR$ ha area massima.
Ho pensato di trovare i lati del triangolo e applicare la formula di Erone per l'area. Il problema è che non capisco come trovare le distanze dai punti visto che $a$ non lo conosco ma sò solo che è $0<a<10/9$.

[Philipp]

Ok vediamo un po'... innanzitutto controlla di aver rappresentato la situazione come nell'immagine che ti allego (realizzata con GeoGebra, un tool open source utilissimo che se non hai già ti consiglio di scaricare).
L'intersezione tra le due parabole si ha in $(1,1)$ oltre che nell'origine e dunque $0<a<1$ (rivedi i tuoi calcoli...).
A questo punto occorre individuare un'espressione per l'area del triangolo dipendente da $a$, senza scomodare Erone , con qualche considerazione geometrica possiamo ottenere al variare di $a$ il valore della base $PQ$ e dell'altezza relativa ad essa.
Il segmento $PQ$ può essere ricavato come (modulo della) differenza tra le ordinate dei suoi estremi, dunque $b=PQ=y_Q-y_P=-9a^2+10a-(9a^2-8a)=-18a^2+18a$ L'altezza invece è più semplice e si ottiene come differenza tra le ascisse di R e dei punti della base, ovvero $h=1-a$.
L'area data dalla formula elementare $S=(b*h)/2$ con qualche passaggio diventa $S(a)=9(a^3-2a^2+a)$.
Da qui in poi il problema è tutto "in discesa": ottieni $S'(a)=9(3a^2-4a+1)$ e se i miei calcoli sono corretti un'area massima di $4/3$ in corrispondenza di $a=1/3$.
Un umile consiglio: think simple! Solitamente in questi problemi al liceo difficilmente si va oltre una similitudine tra triangoli come difficoltà geometriche. Questo problema però è ben costruito, se ti va prova a creare su GeoGebra uno slider per $a$ nel suo intervallo di definizione e guarda come varia l'area del triangolo...

[ZfreS]

Grazie tantissime per l'aiuto. Comunque si, geogebra lo uso ormai da tempo, è davvero utile!