Punto di non derivabilità

[Aletzunny]

Se ho capito correttamente dalla spiegazione in classe "una funzione per essere derivabile in punto deve essere almeno continua in quel punto"...poi potrebbe anche non essere derivabile in quel punto

ora però data la funzione:

$y= x/(x-1) se (x<=2)e (x≠1)$
$y=sqrt(9-x^2) se (2<x<=3)$

Ho trovato che:
per $x=1$ c'è una discontinuità di II specie.
per $x=2$ c'è una discontinuità di I specie.

E anche il libro riporta queste soluzioni.

Adesso però non capisco come faccia a dire che $x=3$ è un punto di non derivabilità.
Nell'intervallo dato la funzione è infatti continua ma per dire se in $x=3$ è derivabile non dovrei fare il limite per $x->3^+$ e per $x->3^-$ della derivata della funzione? Però non ho informazioni su come si comporta la funzione per $x->3$.

Grazie

[SirDanielFortesque]

La cosa la noti anche a colpo d'occhio dato che la funzione $y=sqrt(9-x^2)$ è un arco della circonferenza centrata in $\Omega(0,0)$ e di raggio $R=3$,
considerato per
$x in (2,3]$
Ovviamente il limite destro del rapporto incrementale in $x_0=3$ non esiste.
Questo se non vuoi metterti a derivare con calcoli noiosi annessi.

Se invece vuoi proprio fare i calcoli, allora fai la derivata e calcoli il limite:

$lim_(x->3^-){D[sqrt(9-x^2)]}=lim_(x->3^-)[-2*x/(2*sqrt(9-x^2))]=lim_(x->3^-)[-x/sqrt(9-x^2)]=-infty$
da cui deduci che, comunque sia, la funzione non può essere derivabile in $3$.

Geometricamente stai di fatto trattando la tangente alla circonferenza $\Gamma: y=+-sqrt(9-x^2)$ in $x_0=3$ che è, per l'appunto, la retta $r: x=3$.
Nella fattispecie si può parlare della presenza di una semicuspide in x=3, dato che consideri sono un arco della circonferenza.
Nota infatti che la circonferenza non sarebbe una funzione, infatti avresti:

$x^2+y^2=9$
quindi fai i passaggi:
$y^2=9-x^2$
A questo punto se vuoi esplicitare la y devi estrarre la radice, ma otterresti la semicirconferenza nel I e II quadrante e l'altra semicirconferenza nel III e IV quadrante. Allora prendi solo il più:

$y=+-sqrt(9-x^2)$
$y=sqrt(9-x^2)$

Tutto questo per dire che se un esercizio ti dice di trovare il grafico della funzione:
$y=sqrt(-x^2-4x)$ forse non ha senso fare una derivata per scoprire che c'è un massimo in $x=-2$, no?

[Aletzunny]

A ok ho capito! Cavolo! Risulta molto più semplice cosi che con i calcoli! Peccato che spesso il mio testo richiede esplicitamente i calcoli...

Comunque è corretto quello che ho capito in classe sulla continuità e derivabilità e che ho riassunto all'inizio del post?

[SirDanielFortesque]

Si però penso che in classe più che altro ti abbiano detto che derivabile implica continua.

[Aletzunny]

Si si esatto il concetto è quello!

[Aletzunny]

Scusate ancora... ripassando mi è venuto un dubbio:. perché devo considerare anche il punto $x=3$ nonostante non sia un punto di raccordo o un punto del dominio ($sqrt(9-x^2)$ ammette $x=3$ come soluzione)
Grazie

[SirDanielFortesque]

$x=3$ è un punto del dominio, in effetti.
E poi quando fai lo studio del segno della derivata prima ti accorgi che il denominatore si annulla per $x=3$, quindi fai il limite, quindi scopri che in quel punto c'è un semiflesso (o una semicuspide, non sai cosa c'è a destra di tre perché la funzione non è definita).

[Aletzunny]

Cioè se ho capito bene tra $(2;3]$ la funzione è continua e quindi provo a derivarla...mi accorgo però che la derivata ha la $x$ a denominatore e per $x=3$ il denominatore si annulla e quindi non può esistere...
Da ciò studio se nel punto $x=3$ la funzione è dedivabile... è corretto?