Esercizio legge di faraday

[Dal]

Non riesco a risolvere questo esercizio, o a capire il significato del risultato che credo di aver trovato.




Io ho proceduto calcolando la forza elettromotrice $ f_(em)=-(d(phi_((t)) ))/(dt)=-Blv $ dove B è il modulo del campo magnetico, $ phi $ è il flusso di B attraverso la sbarra, l la lunghezza della sbarra e v la velocità, avendo scelto come sistema di riferimento un asse x che punta verso il basso, così che $ v=(dx)/(dt) $. Ora, non essendoci resistenze, per calcolare la corrente indotta ho proceduto in questo modo: la legge di Kirchoff alle maglie sui potenziali mi dà $ f_(em)-Delta V=0 $ , dove $ Delta V $ è il potenziale ai capi del condensatore; inoltre il potenziale ai capi del condensatore rispetta la legge $ C=Q/(Delta V)$, dove C è la capacità del condensatore e Q la carica sulle armature; quindi $ Q= C (Delta V)$. Inoltre la conservazione della carica impone che la carica $ dQ= C (d V)$ che si deposita sulle armature del condensatore sia anche quella $ dq $ trasportata dalla corrente indotta, cioè $ idt=dq=dQ $, quindi $ i= (dQ)/(dt)= BCl ((dv)/(dt))=BCla_((t))$. Qui non capisco come la corrente indotta possa cambiare segno in base all' accelerazione: infatti credo che in tale situazione, la sbarra,dopo aver subito un'accelerazione positiva per mettersi in moto, inizierà ad un certo istante a rallentare a causa della forza elettromotrice indotta, quindi la sua accelerazione sarà negativa dopo un certo istante (non so se questa interpretazione sia corretta).
Comunque, ammattendo che la corrente indotta si comporti in questo modo, passiamo al punto b: per trovare l'equazione del moto $x_((t))$ ho tenuto conto che sulla sbarretta agiscono forza peso e forza di Lorentz. Ho calcolato la forza di lorentz come $ dvec(F)_(l)=i dvec(l)xx vec(B)=B^2CLa_((t))(-hat(e)_x)dl $ , cioè $ vec(F)_(l)=int_(0)^(l) i dvec(l)xx vec(B)=B^2L^2Ca_((t))(-hat(e)_x) $. Quindi per trovare la legge del moto uso $ mvec(a)_((t))=vec(F)=vec(F_(l))+vec(F_(p))=mghat(e)_(x)- B^2L^2Ca_((t))(hat(e)_x) $, che mi dà $ vec(a)_((t))=(mg)/(m+B^2L^2C)hat(e)_x $, cioè un moto uniformemente accelerato, il che mi sembra sospetto. Qualcuno riesce ad aiutarmi?

[RenzoDF]

Non c'è nulla da aiutare, hai già fatto tutto tu, correttamente.

[mgrau]

cioè $ idt=dq=dQ $, quindi $ i= (dQ)/(dt)= BCl ((dv)/(dt))=BCla_((t))$. Qui non capisco come la corrente indotta possa cambiare segno in base all' accelerazione: infatti credo che in tale situazione, la sbarra,dopo aver subito un'accelerazione positiva per mettersi in moto, inizierà ad un certo istante a rallentare a causa della forza elettromotrice indotta, quindi la sua accelerazione sarà negativa dopo un certo istante .....
cioè un moto uniformemente accelerato, il che mi sembra sospetto.

Non ho capito bene da dove esce quel $(dv)/(dt)$, puoi spiegare meglio?
Comunque non mi pare privo di senso..... Invece non direi che l'accelerazione faccia quello che dici: non vedo perchè dovrebbe diventare negativa, caso mai diminuisce al di sotto di $g$, ma potrebbe restare positiva. Se poi il tuo risultato è corretto, il che potrebbe benissimo essere, le cose possono andare in modo che l'accelerazione resti costante e minore di $g$

[RenzoDF]

Si, l'accelerazione è ridotta e costante, con la riduzione funzione dalla capacità e direi che, a parte piccoli particolari, la sequenza dell'OP sia corretta; ad ogni modo, per arrivare più in fretta a quella soluzione, si poteva usare un bilancio energetico che differenziato portava direttamente a scrivere

$mgv=mva+CB^2L^2va$

e quindi a quella stessa soluzione.