Limite di una funzione

[LAAN77]

Ciao a tutti avrei bisogno di ha mano con il limite seguente qualcuno può aiutarmi?
$\lim_{x \to \-infty} $ $ x^2-ln(1-x)+sinx $
A me verrebbe da dire che il limite non esiste in quanto il $\lim_{x \to \-infty} $ $sinx$ non esiste.
Non riesco a capire se anche questa può esssre considerata una forma indeterminata e in tal caso raccogliendo $x^2$ uscirebbe:
$ x^2(1-(ln(1-x)/x^2)+sin(x/x^2)$

È in questo caso mi uscirebbe $x^2(1-0+0) = infty $

Qualcuno mi può aiutare con risoluzione?


Grazie in anticipo

[Platone]

Allora, ci sono diverse cose errate in quello che hai scritto.
Partiamo dalla più banale (e quindi per certi versi anche la più "grave"): se raccogli \(x^2\) da \(\sin x\), non ottieni mica \(\sin(\frac{x}{x^2})\), ma \(\frac{\sin x}{x^2}\).
Inoltre non esiste un teorema che afferma che date due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\) definite in un intorno di \(x_0\), se il limite per \(x\to x_0\) di \(f(x)\) non esiste allora non esiste neanche il limite di \(f(x)+g(x)\).

Detto questo, se raccogli correttamente \(x^2\) dovresti riuscire a concludere...

[LAAN77]

Ok grazie.
Allora se raccolgo bene come mi hai suggerito
Mi uscirebbe
$x^2(1-(ln(1-x)/x)+(sinx/x^2) $
Sono bloccato ho un po’ di confusione mi potresti aiutare ad andare avanti?

[LAAN77]

Oppure non potrei svolgere cosi:
Semplifico $ ln(1-x) + sin(x) $ non essendo infiniti prevalenti. Mi rimane solo il polinomio $x^2$ è il risultato sarà infinito
È errato?

[Platone]

I due pezzi tra parentesi vanno a zero, il primo (quello del logaritmo) in virtù di un limite notevole, l'altro perchè il seno è una funzione limitata mentre \(x^2\) va a infinito. Quindi...

[LAAN77]

Ok grazie quindi i risultati é $ +infty $
Quindi in sostanza senza raccogliere posso trascurare il logaritmo naturale e il sin(x) perché il primo è infinito prevalente e l altro è limitato l. Perciò calcolare solo il limite di $x^2$ che mi darà +infinito. Sarebbe corretta anche questa modalità?

[Platone]

Ok grazie quindi i risultati é $ +infty $
Quindi in sostanza senza raccogliere posso trascurare il logaritmo naturale e il sin(x) perché il primo è infinito prevalente e l altro è limitato l. Perciò calcolare solo il limite di $x^2$ che mi darà +infinito. Sarebbe corretta anche questa modalità?

Si, ma molto "pericolosa"... fai molta attenzione quando porli di infinito prevalente: come si sta discutendo in un'altro topic proprio in questo momento, il linguaggio disinvolto sul confronto tra infiniti può portare a grossi errori.
Giusto per fare un esempio, ma se ne potrebbero fare anche di più "sottili", questo limite quanto fa?
\(\lim_{x \to +\infty} (x-\log(x+e^{x^2}))\)

[LAAN77]

Siccome mi hai detto che bisogna far attenzione ora non so cosa fare onestamente. Se potresti continuare sarebbe perfetto così potrei capire il concetto.
Grazie mille gentilissimo

[Platone]

Intanto mi era scappato un segno nella traccia: quella corretta è
\(\lim_{x \to +\infty} (x-\log(x+e^{x^2}))\)
(ho modificato il posto precedente; se fosse stato \(\log(x-e^{x^2}))\) non sarebbe stato possibile calcolare il limite a \(+\infty\) a causa del dominio del logaritmo).
Detto questo, utilizzando il linguaggio degli ordini di infinito si potrebbe essere tentati di dire: "x va a infinito più velocemente del logaritmo, quindi il limite è \(+\infty\)", sbagliando!
Procedendo con ordine si trova che
\(\lim_{x \to +\infty} (x-\log(x+e^{x^2}))=\lim_{x \to +\infty} (x-\log[e^{x^2}(\frac{x}{e^{x^2}}+1)])=\lim_{x \to +\infty} (x-\log[e^{x^2}])=\lim_{x \to +\infty} (x-{x^2}\log[e])=\lim_{x \to +\infty} (x^2[\frac{x}{x^2}-1])=\lim_{x \to +\infty} (-x^2)=-\infty\)